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A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia

Postado por Matemática é Fácil! - 21 de agosto de 2016 4 comentários

Equação de primeiro grau de forma fácil!
Continuando os artigos sobre a Matemática no Continente Africano, veremos um pouco sobre o Sona: desenhos matemáticos na areia. 

  A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Uma cultura de longa tradição (alguns dizem que está em extinção), originária do povo Tshokwe, do nordeste de Angola, onde pessoas faziam desenhos matemáticos na areia, chamados de Sona (no singular, um lusona). É conhecido também no leste de Angola e nas fronteiras do país, como a República Democrática do Congo e na Zâmbia. Conheceremos um pouco dessas figuras geométricas, representando também outros conteúdos de Matemática, como Análise Combinatória, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC). Lembrando que esses conceitos eram utilizados intuitivamente, sem o conhecimento de fórmulas.

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Era necessário limpar e alisar o solo com a mão, o narrador desenhava, com a ponta dos dedos, uma grade de pontos, cuidando para que estivessem regularmente espaçados. Em seguida, em volta dos pontos, traçava linhas retas e curvas, tanto para a direita quanto para a esquerda, com uma inclinação de 45 graus, mantendo equidistantes dos pontos, servindo de base para a sua história. As linhas são sempre fechadas, traçadas sem o narrador levantar o dedo da areia, seguindo regras específicas de acordo com a tradição. Os sona são uma forma de escrita, onde um narrador ou conta uma história ou uma realidade da vida nos quais ilustram provérbios, contos, fábulas, jogos, mitos, animais, cantos, leis e enigmas, desempenhando um papel importante na transmissão do saber às novas gerações. Diversos sona evocavam o mukanda, o rito de passagem dos meninos à idade adulta. O sona é uma representação simbólica da evolução da narrativa. 

  A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


É possível estudar os sona por meio de Matemática de gráficos, redes definidas por pontos (vértices) ligados por linhas e arestas. Nesses objetos, o comprimento e a curvatura das arestas não importam: dois conjuntos de vértices idênticos podem ser ligados da mesma maneira.

  A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia



Cálculos matemáticos


Agora, veremos alguns exemplos com cálculos matemáticos nos sona.


O Número de Fios


Os sona que se assemelham a tramas de tecelagem estão entre os mais simples. Entre eles, alguns são compostos de um único fio, que contorna cada ponto da grade, antes de reencontrar seu ponto inicial; outros exigem diversos fios. 

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


No primeiro exemplo, usando um sistema de coordenadas para marcar os pontos das diagonais da grade, um fio que parte do ponto (a, 0) atinge o ponto (n + 1, n + 1 – a), em seguida o ponto (n + 1 – a, n + 1) e finalmente o ponto (0, a), antes de reencontrar o ponto inicial. O fio passa pelos pontos (2,0), (5,3), (3,5) e (0,2). Cada fio é desviado três vezes antes de voltar a seu ponto inicial e percorre quatro diagonais: no total, é preciso desenhar n fios (retângulos) para percorrer todas as diagonais da grade. Uma grade quadrada de n pontos de lado requer, portanto, n fios. Em seguida, ao decompor em quadrados um dado motivo de tecelagem, podemos demonstrar que o número de fios exigidos para o motivo inteiro é igual ao do motivo restante, ou ao número de linhas do último quadrado, quando a última grade é quadrada. 

Um motivo de três linhas e quatro colunas, por exemplo, se decompõe em uma grade quadrada de nove pontos e uma coluna de três pontos, que um único fio percorre. Assim, no motivo inteiro, um único fio basta para desenhar o lusona inteiro. 

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Em contrapartida, para um motivo de duas linhas e quatro colunas, pomos de lado um quadrado de dois pontos e deixamos um quadrado idêntico: dois fios são necessários para desenhar um motivo de tecelagem em tal grade quadrada de quatro pontos; portanto, dois fios também são necessários para o motivo inteiro. 

Esse processo é semelhante ao cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC). 


O Ventre de Leão


Outro exemplo, é o sona da família do ventre de leão. Eles correspondem ao trajeto de um raio luminoso num perímetro circunscrito, no qual inserimos espelhos horizontais de duas faces espelhadas, entre os pontos de colunas de fileira par. Para determinar o número de fios necessários para tal motivo, analisamos sua evolução na medida em que eles passam de uma coluna à seguinte. 

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Para fazer isso, numeramos os segmentos de fios imediatamente após as intersecções, por exemplo de um a seis, para uma grade de três linhas e cinco colunas. A transposição de segmentos após uma coluna sem espelho, denominada A, transforma a ordem 123456 em 415263. A transposição após uma coluna com espelhos, denominada B, transforma a ordem 123456 em 214365. O conjunto de transposições sofridas pelos segmentos até a penúltima coluna da grade forma, assim, uma “palavra” composta de A e de B, como BAB, em nosso exemplo.

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Assim, para todo ventre de leão de m linhas e de n colunas, podemos escrever uma palavra composta de B e de A em alternância, uma vez que espelhos são colocados na metade das colunas, alternadamente. Essas palavras se simplificam ao reconhecer, por exemplo, que duas transposições sucessivas de tipo B não alteram a ordem de segmentos. Do mesmo modo, 2m transposições consecutivas de tipo A se anulam. Além disso, demonstramos que BA = A2m-1B. No final, cada palavra simplificada obtida é da forma AjBk, onde k é 0 ou 1 e j é positivo. 

A palavra de um motivo da família do ventre do leão é BABABA... ou B(AB)k. Ao analisar os diferentes valores de k, demonstramos que tal motivo de m linhas e n colunas precisa de um único fio quando (n – 1) é um múltiplo de quatro, se não m fios. 


Algumas histórias contadas por meio dos Sona



A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia

Sambalu, o coelho (posicionado no ponto B), descobre uma mina de sal-gema (ponto A). Imediatamente, o leão (ponto C), a onça (ponto D) e a hiena (ponto E) reclamam a posse, reivindicando o direito do mais forte. O coelho, afirmando o inviolável direito do mais fraco, rapidamente faz uma vedação para isolar a mina dos usurpadores.

Como se pode verificar no desenho, só é possível chegar ao ponto A (a "mina de sal-gema") a partir do ponto B (o "coelho") sem atravessar a linha sinuosa (a "vedação"). Os outros pontos (o "leão", a "onça" e a "hiena") estão separados de A pela linha.


A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia

A figura que está em cima é Deus, à esquerda está o Sol, à direita está a Lua e em baixo está um ser humano. Este lusona representa o caminho para Deus.

Um dia, o Sol foi visitar Deus. Deus deu um galo ao Sol e disse: “Volta cá amanhã de manhã antes de partires”. No dia seguinte de manhã, o galo cantou e acordou o Sol. Quando o Sol se apresentou diante de Deus, este disse-lhe: “Tu não comeste o galo que te dei para o jantar. Podes ficar com o galo, mas tens que regressar todos os dias.” É por isso que o Sol dá a volta à Terra e reaparece todas as manhãs.

A Lua também foi visitar Deus e recebeu um galo de presente. No dia seguinte de manhã, o galo cantou e acordou a Lua. Mais uma vez, Deus disse: “Tu não comeste o galo que te dei para o jantar. Podes ficar com o galo, mas tens que regressar a cada vinte e oito dias.” É por isso que o ciclo da Lua dura vinte e oito dias.

O ser humano também foi visitar Deus e recebeu um galo de presente. Mas o humano estava com fome depois de ter feito uma tão longa viagem e comeu parte do galo ao jantar. Na manhã seguinte, o Sol já ia alto no céu quando o humano acordou, comeu o resto do galo e apressou-se a visitar Deus. Deus disse-lhe: “Eu não ouvi o galo cantar esta manhã.” O humano respondeu-lhe a medo: “Eu estava com fome e comi-o.” “Está bem,” disse Deus, “mas escuta: tu sabes que o Sol e a Lua estiveram aqui, mas nenhum deles matou o galo que lhes dei. É por isso que eles nunca morrem. Mas tu mataste o teu, e por isso deves também morrer. Mas quando morreres deves regressar aqui.”

E assim acontece.


Obs.: Conheça mais histórias com os Sona, no site: http://amateriadotempo.blogspot.com.br/2011/05/desenhos-na-areia-em-africa.html


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Grande abraço e até a próxima!


Bibliografia

Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial – Etnomatemática






4 comentários no artigo ''A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia "

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  1. Fico muito sensibilizado pela referência ao meu modesto blog. Obrigado. Venho também chamar a sua atenção para um outro post que publiquei, a propósito do falecimento do matemático holandês naturalizado moçambicano Paulus Gerdes: http://amateriadotempo.blogspot.com/2014/11/um-notavel-matematico-deixou-nos.html.

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    1. Olá, Fernando. Não há em que se sensibilizar, pois seu "modesto" blog é excelente! Havia ouvido falar um pouco sobre Paulus Gerdes, inclusive na revista que também coloquei como referência (Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial – Etnomatemática) tem alguns artigos dele, inclusive sobre os Sona.
      Muito obrigado por mais uma contribuição, acabei de ler seu artigo sobre o Paulus Gerdes e já entrei no site sobre os livros dele e estou baixando alguns. Vou compartilhar o seu artigo em minhas páginas no Facebook e Google Plus.

      Muito obrigado e um grande abraço!

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