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Adição e Subtração de Números Naturais

- 30 de março de 2020 Sem comentários
Chamamos de Números Naturais, os números que utilizamos naturalmente em nosso cotidiano. O ser humano utiliza o sistema de contagem há milhares de anos, e calculava com paus, pedras e marcas em ossos, árvores e cavernas. Com a descoberta dos números pelas antigas civilizações, por volta de 4.000 anos a.C. e destacando-se no Egito (África), o ser humano começou a calcular números utilizados em seu cotidiano, ou seja, os números positivos. Utilizamos os Números Naturais a todo instante, desde quando despertamos e vemos a hora no relógio, o número de nossa casa, CEP de um endereço, telefone, placa de carro, entre outros.

Adição e Subtração de Números Naturais


O Conjunto dos Números Naturais é representado da seguinte forma: 

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 

Os Números Naturais, excluindo o zero, é representado assim: 

N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 

No arquivo em PDF, logo abaixo, você verá algumas propriedades que ajudarão nas resoluções de situações-problema. 

Em caso de dúvidas nas questões, escreva nos comentários para debatermos as respostas. 

Neste blog, temos diversos materiais que podem te auxiliar a compreender melhor o assunto, assim como os vídeos em nosso canal do YouTube


Prepare-se já! 


Caso precisar, trabalho com aulas particulares de Matemática, presenciais em SP (domicílio ou bibliotecas) e via Skype para todo o Brasil. 

Meu nome é Jefferson Santos, sou professor de Matemática concursado da rede municipal de ensino em SP. Sou formado com Licenciaturas em Matemática, Pedagogia e Ciências Biológicas, e com Pós-Graduações em Finanças, Formação em Educação a Distância e Psicopedagogia, além de diversos cursos em editoras, institutos, diretorias de ensino e universidades (USP, UNICAMP, entre outros). 



Adição e Subtração de Números Naturais

Trabalhos 


As aulas particulares de Matemática que leciono são para Ensino Fundamental I e II, e Ensino Médio para Concursos Públicos, além de aulas preparatórias para ETEC, SENAI e outros processos seletivos. 

As aulas particulares são presenciais em SP (domicílio ou bibliotecas) e via Skype para todo o Brasil. 


Aceitamos cartões de crédito e débito, presencial e online. 


Para as aulas de reforço escolar, trabalho com o material do aluno (livros, apostilas, lições e listas de exercícios) e com meus livros didáticos. Para aulas preparatórias de concursos públicos, trabalho com apostila de concursos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar. Envio apostila digital em PDF com os conteúdos exigidos nos editais. 


Objetivos 


Missão: Facilitar o aprendizado da Matemática, com conceitos básicos e objetivos, auxiliando na compreensão, autonomia, desenvolvimento e aprendizagem das pessoas. 

Visão: Ser referência no ensino da Matemática em todo o território nacional, de uma forma simples e objetiva, aumentando a autoestima dos educandos. 

Valores: Ética, competência, valorização do ser humano, pontualidade, qualidade, aprendizagem, respeito, transparência e inclusão social. 


Contatos: 








Potenciação de Números Inteiros

- 29 de janeiro de 2020 Sem comentários
Recordando o que vimos no Conjunto dos Números Naturais: Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Ex. 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 e 3² = 3 x 3 = 9.

Potenciação de Números Inteiros


No 1º exemplo, chamamos o nº 2 de base, o nº 3 de expoente e o nº 8 de potência. No 2º exemplo, o número 3 chama-se base, o número 2 chama-se expoente e o resultado número 9 chama-se potência. 

No Conjunto dos Números Inteiros, a regra é a mesma: multiplicar fatores iguais. A diferença está no sinal da potência. Exemplos: 

(-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = – 8 

(-3)² = (-3) x (-3) = + 9 


Obs.: Quando a base é negativa, a potência de um número elevado ao expoente par é um número positivo e a potência de um número elevado ao expoente ímpar é um número negativo, pois utilizamos as regras de sinais da multiplicação. 


Outra observação, quando não temos os parênteses na base, não calculamos a potência do sinal, somente do número da base. Exemplos: 

- 2³ = - 8 

- 3² = - 9 


Potências de expoente 0 (zero) 


Em qualquer número real não nulo, com expoente 0 (zero), o resultado será sempre igual a 1. 

Exemplos: 

23º = 1 

(−2,47)º = 1 

(½)º = 1 

Essa regra é resultado de propriedade de divisão de potências de mesma base, conforme exemplos a seguir: 

5³ : 5³ = 125 : 125 = 1 

5³ : 5³ = 5^(3−3) = 5º = 1 

Vemos que, na divisão de qualquer número com bases e expoentes iguais, o resultado sempre será o expoente 0 (zero), assim como, fazendo os cálculos e tirando a potência de cada número, terminaremos numa divisão de números iguais, e toda divisão de números iguais o resultado é igual a 1. 


Potências de expoente 1 


Qualquer número real com expoente 1, o resultado será sempre o próprio número. 

Exemplos: 

65¹ = 65 

(-6,31)¹ = -6,31 

(½)¹ = ½ 


Exercícios 


1) Calcule as potências: 

a) (+3)² = 

b) (+5)³ = 

c) (+7)² = 

d) (-11)² = 

e) (-5)³ = 

f) (-3)^4 = 

g) (-1)^6 = 

h) (-2)^8 = 

i) (-9)º = 

j) (+6)¹ = 

k) (+31)º = 

l) (-9)¹ = 

m) (+2)³ = 

n) (-7)^4 = 

o) (-9)³ = 

p) (-17)º = 

q) (-35)¹ = 

r) (-1)³ = 

s) (+1992)º = 


2) O número -15 é menor que -3. Será que podemos dizer que (-15)² é menor que (-3)²? Por quê? 


3) Calcule as expressões numéricas: 

a) (-6)² - 12 = 

b) (-5) . (+6) – (-3)² = 

c) (-8)² : (-16) + 5 = 

d) (-6)º + (-3)² + (-2)³ . (-1) = 

e) 3² - 4² - (-2). (-4) = 

f) (-7)² - (-7) . (-6) = 

g) (-4) – [(-8) : (+2)]² - 6 = 

h) (+20) : (-1)^4 – 2² + (-2)^5 : (+2)^4 – 5º = 

i) (-576) : (-12)² - (-125) : (-5)² = 

j) (-2)³ + (-3)² = 

k) (-3)³ - (+2)^4 . (-1)^6 = 

l) (-3 + 7)³ : (-5 + 3)² = 

m) (-2)³ : (-8) = 

n) (-5)² : (-4 – 1) = 

o) (-5 + 1)² + (+4)² - (-1)^5 = 

p) (-2)³ . (-3)² - (-5)² . (-1)^4 = 

q) (-6)² : (-3)² - (-2 + 1) . (-2)³ = 

r) [(-2)^4 + 3 . (3² - 1)] : (2³ + 3 . 2²) =


Prepare-se já!



Caso precisar, trabalho com aulas particulares de Matemática, presenciais em SP (domicílio ou bibliotecas) e via Skype para todo o Brasil. Em caso de dúvidas, entre em contato no e-mail: jefferson.matematica@hotmail.com ou nas redes sociais: Facebook, Instagram e YouTube.

Nas aulas, você ganha por e-mail apostila digital em PDF com exercícios resolvidos de concursos públicos.

Trabalho com o livro: Matemática é Fácil! Provas resolvidas de concursos públicos, apostilas de concursos públicos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar.


Aceito cartões de crédito e débito, presencial e online.



Conheça o livro: Matemática é Fácil! Provas resolvidas de concursos públicos 


Diferente dos livros didáticos e das apostilas de concursos, o livro “Matemática é Fácil! Provas resolvidas de concursos públicos” tem o foco de auxiliar nas interpretações por meio de palavras-chave e nas resoluções passo a passo das questões de concursos públicos, ao invés de abordar temas de Matemática com explicações de como efetuar os cálculos (algo que os livros didáticos já fazem). 


Potenciação de Números Inteiros


Temos um guia de como interpretar questões de concursos públicos por meio de palavras-chave, com os conteúdos que realmente caem nas provas: M.M.C. e M.D.C., Equações e Sistemas de Equações do 1º Grau, Razão e Proporção, Regra de Três Simples e Composta, Porcentagem, Juros Simples e Compostos, Média Aritmética Simples e Ponderada, Equações do 2º Grau, Sistema Métrico Decimal, Tabelas e Gráficos, Geometria Plana e Espacial (Área, Perímetro, Volume, Ângulos e Teorema de Pitágoras). Em cada conteúdo, temos exemplos de questões resolvidas de concursos públicos. 

Após, disponibilizamos 20 provas de Matemática de concursos públicos com 200 questões, todas resolvidas com o passo a passo sem pular etapas (outro diferencial do livro), valorizando o conhecimento da Matemática básica. 

O livro tem 268 páginas e está no valor de R$ 60,00. Posso entregar em alguma estação de Metrô ou via Correios, com promoção de frete grátis, por carta registrada, para todo o Brasil. 

Você pode adquirir em dinheiro, depósito bancário ou cartão de crédito ou débito por máquina presencial ou online pelo link do Pag Seguro. 


Acompanhe as próximas postagens, fique atento! Para não perder nada, assine gratuitamente o nosso blog!


Grande abraço e bons estudos! 


Potenciação de Números Inteiros

História e exercícios de Equações do 1º Grau

- 30 de dezembro de 2019 Sem comentários

Breve introdução ao estudo de Equações


Equação, do latim equatione, significa equacionar, igualar, pesar, igualar em peso. Palavra de origem árabe, equação vem de adala, que significa “ser igual a”, reforçando a ideia de igualdade. Atualmente, para descobrir o valor de uma equação, representamos esse valor desconhecido por letra, na qual chamamos de incógnita, e geralmente representada pela letra x. A equação é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. 
História e exercícios de Equações do 1º Grau

Existem diversos tipos de equações, nas quais utilizamos numa situação específica, há tipos de problemas que só conseguimos resolver usando determinada equação. 

Equação é um dos ramos da Álgebra, palavra também de origem árabe, no latim al-jabr, usada pela primeira vez no livro “Al-Kitab al-jabr wa’l Muqabalah”, do astrônomo e matemático hindu al-Khowarizmi, por volta do ano 825. Em alguns de seus significados, Álgebra significa “ciência da restauração (ou reunião) e redução”, “ciência da transposição e cancelamento”, “a transposição de termos subtraídos para outro membro da equação”, “o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação”, ou, numa tradução simples “a ciência das equações”, apesar de atualmente álgebra ser um campo mais amplo, além das equações. 

O primeiro indício no uso de equações consta no chamado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor, no Egito, em 1858. Esse papiro também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática. Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos. Os gregos resolviam equações através de Geometria, principalmente com Diofanto de Alexandria (século III a.C.), que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações. Essas equações eram representadas da seguinte forma: 

“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”. 

Veja que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse problema é resolvido com o auxílio de letras, as mais comuns são x, y e z. Com isso, hoje esse problema é representado da seguinte forma: x + x/7 = 19. 

Mas foram os árabes que promoveram um grande progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido de uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido de “coisa”, que se pronunciava xay, assim, mais adiante, surgindo a notação x, simplificando essa palavra. Na matemática árabe, destaca-se o hindu al-Khowarizmi. 

As equações ganharam destaque quando passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI, sendo chamado de “pai da Álgebra”. Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a ele, os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as expressões algébricas. 

Com esse desenvolvimento, as equações são utilizadas atualmente em cálculos complexos, presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática, entre outros.

Afinal, para que serve a Matemática?

- 13 de setembro de 2018 Sem comentários
Ao mesmo tempo que estamos rodeados pela Matemática em praticamente todos os momentos de nossa vida, na maioria desses momentos estamos também rodeados por pessoas que odeiam a Matemática. E muitas dessas pessoas fazem o mesmo questionamento: Afinal, para que serve a Matemática? 

Afinal, para que serve a Matemática?


Partindo do contexto histórico, desde o surgimento do ser humano, a Matemática faz parte do cotidiano das pessoas. O “homem pré-histórico” utilizava a Matemática intuitivamente para caçar, pescar, colher e fazer suas moradias com madeiras e peles de animais. Fazia cálculos por meio de entalhes em madeiras e ossos, nós em cordas e contagens com pedras. 

Surgindo as chamadas civilizações, houve a necessidade da escrita e do número para auxiliar nas atividades cotidianas. Assim, surgiram os cálculos que conhecemos hoje. 

Ao longo da história da humanidade, a Matemática foi primordial para o progresso da mesma. Desde os cálculos do cotidiano, a invenção do calendário, o avanço da Astronomia, as construções, o entendimento de fenômenos naturais, o grande avanço da tecnologia, entre outros. 

Afinal, para que serve a Matemática?

Utilizamos a Matemática desde a hora em que acordamos até a hora em que vamos dormir, afinal, no mínimo precisamos colocar o relógio para despertar. A todo momento calculamos o tempo, seja para dormir, chegar ao trabalho e voltar para casa, o próprio horário de trabalho, almoço, lanche, etc. Todos os objetos que utilizamos foram feitos com cálculos matemáticos. Nossos aparelhos eletrônicos são pura Matemática. Além disso, em qualquer lugar que estivermos, estamos cercados de números: casas, prédios, lojas, informações, placas, etc. Estamos sempre preocupados com a previsão do tempo, o que também é pura Matemática. Assim como vibramos com o avanço da medicina e descoberta de novas vacinas. Na TV, jornais ou revistas, acompanhamos sempre porcentagens e gráficos referente a algum assunto. A lista é enorme... 

Afinal, para que serve a Matemática?


Podemos nos questionar o motivo de aprender certos cálculos e fórmulas na escola, mas todos são primordiais para nós, senão nada existiria. 


Afinal, para que serve a Matemática?

Segue abaixo uma relação simplista de onde usamos a Matemática. Os exemplos relacionados são poucos, comparados com tamanha importância da Rainha das Ciências: 


  • Qualquer objeto: roupas, calçados, cama, sofá, equipamentos, ferramentas; 

  • Tecnologia: celular, computador, TV, rádio, videogame, internet; 

  • Tudo que envolve dinheiro; 

  • Documentos: RG, CPF, carteira de habilitação, carteira de trabalho, título de eleitor; 

  • Lugares: número da casa, apartamento, sala de aula, CEP do endereço; 

  • Placa do carro, números das linhas de ônibus; 

  • Idade, altura e peso; 

  • Graus dos óculos, binóculos, telescópios; 

  • Construções; 

  • Máquinas: veículos, aviões, foguetes, indústrias; 

  • Qualquer modalidade esportiva: tempo, espaço, pontuações; 

  • Astronomia; 

  • Previsão do tempo e outros fenômenos da natureza; 

  • Música, cinema e teatro; 

  • Livros, jornais e revistas; 

  • Alimentos; 

  • Embalagens de qualquer natureza; 

  • Agricultura e pecuária; 

  • Medicina; 

  • Calendário. 


Lembrando que esses são poucos exemplos, e que a Matemática é totalmente primordial na vida de qualquer pessoa e qualquer tipo de sociedade. 


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Grande abraço!

Equações do 1º Grau

- 26 de junho de 2018 Sem comentários
Equação é toda sentença matemática aberta, ou seja, apresenta um valor desconhecido que deve ser calculado, representando uma igualdade. Acreditamos ser um dos conteúdos mais importantes, pois as Equações do 1º Grau estão em cálculos como Porcentagem, Juros, Geometria, Média Aritmética, etc. Encontramos as equações também em cálculos complexos, presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática, entre outros. Equações do 1º Grau

Equação, do latim equatione, significa equacionar, igualar, pesar, igualar em peso. Palavra de origem árabe, equação vem de adala, que significa “ser igual a”, reforçando a ideia de igualdade. Atualmente, para descobrir o valor de uma equação, representamos esse valor desconhecido por letra, na qual chamamos de incógnita, e geralmente representada pela letra x. A equação é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. 

Equação é um dos ramos da Álgebra, palavra também de origem árabe, no latim al-jabr, usada pela primeira vez no livro “Al-Kitab al-jabr wa’l Muqabalah”, do astrônomo e matemático hindu al-Khowarizmi, por volta do ano 825. Em alguns de seus significados, Álgebra significa “ciência da restauração (ou reunião) e redução”, “ciência da transposição e cancelamento”, “a transposição de termos subtraídos para outro membro da equação”, “o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação”, ou, numa tradução simples “a ciência das equações”, apesar de atualmente álgebra ser um campo mais amplo, além das equações. 

Segue abaixo uma lista com 10 exercícios em PDF, de Equações do 1º Grau em forma de situações-problema. Creio ser de suma importância para aprendermos a interpretar questões de escolas, concursos públicos e diversos processos seletivos, pois é o momento em que transformamos a linguagem materna em linguagem matemática. Antes, um quadro explicativo para a transformação dessas linguagens. 

Equações do 1º Grau

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Grande abraço e bons estudos!

Exercícios básicos de Perímetro e Área de Figuras Planas

- 25 de abril de 2018 Sem comentários
Com uma lista bem simples, que pode ser aplicada nas turmas iniciais nos estudos da Geometria, veremos abaixo alguns exercícios básicos de Perímetro e Área de Figuras Planas.

Exercícios básicos de Perímetro e Área de Figuras Planas


Os exercícios estão em arquivo PDF para você salvar, imprimir, estudar ou aplicar para os alunos. 


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Poképrova de Porcentagem

- 16 de março de 2018 1 comentário
Idealizada pelo professor de Matemática, Felipe Augusto, e cedida gentilmente numa comunidade do Facebook para Professores de Matemática, há algum tempo fomos autorizados (também gentilmente) a disponibilizar para vocês a Poképrova de Porcentagem, que foi aplicada numa turma de 9º ano do Ensino Fundamental II. Já postamos anteriormente em nosso blog outra prova do mesmo professor, a Batprova de Matemática para o 7º ano.

Poképrova de Porcentagem


O foco principal que chamou a atenção de todos nós, nesta e em outras provas que o professor disponibilizou, foi a grande criatividade do professor Felipe Augusto, no qual aprecio e parabenizo por esse grande trabalho! 

Para vocês, meus amigos que acompanham este blog, segue em anexo a Poképrova de Porcentagem, em arquivo PDF, para vocês salvarem, imprimirem e estudarem em qualquer lugar. Inclusive, coloquei uma folha de respostas logo abaixo da prova. Fiquem a vontade em aplicar para seus alunos, filhos, familiares, amigos, etc. 


Agradeço muito o professor Felipe Augusto, parabéns e muito obrigado!!! 


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Grande abraço e bons estudos!!!

Exercícios contextualizados de Frações

- 4 de outubro de 2017 Sem comentários
Em mais uma lista de exercícios, agora vamos a alguns exercícios contextualizados de Frações. Foram realizados na escola em que trabalho com o tema sobre a Água, que tem suma importância em nossa vida e no planeta. 
Exercícios contextualizados de Frações


Lembrando que neste blog temos outros conteúdos sobre Frações, conforme especificado abaixo: 


Segue em anexo, a lista de exercícios em arquivo PDF, para você salvar, imprimir, e estudar em qualquer lugar! Primeiro, coloquei a lista de exercícios, e após as respostas. 


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Grande abraço e bons estudos! 

Expressões Numéricas com Números Racionais

- 8 de agosto de 2017 Sem comentários
Em mais uma lista de exercícios para auxiliar nos estudos da Matemática básica, temos agora 10 exercícios de Expressões Numéricas com Números Racionais. 

Expressões Numéricas com Números Racionais


Mais uma vez, na minha opinião, devemos primeiro aprender a calcular, depois conseguir ordenar os cálculos e após trabalhar as interpretações de questões. As Expressões Numéricas ajudam muito no entendimento dos cálculos matemáticos e ordenação dos mesmos. Na videoaula Expressões Numéricas com Adição e Subtração de Números Naturais em nosso canal Matemática é Fácil no YouTube, falamos um pouco sobre isso. 

Segue em anexo, a lista de exercícios em arquivo PDF, para você salvar, imprimir, e estudar em qualquer lugar! 


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Expressões Numéricas com Números Racionais


Introdução sobre Números Decimais e Sistema Monetário

- 29 de junho de 2017 Sem comentários
Geralmente, quando aprendemos sobre os Números Decimais, estamos falando do Conjunto dos Números Racionais. Então, aprendemos a transformar frações em decimais e também decimais em frações, além das operações matemáticas nos números decimais. Com o objetivo de auxiliar as pessoas no entendimento dos números nos quais utilizamos vírgula, inclusive onde são utilizados no cotidiano, assim como sua leitura e escrita, faremos uma introdução sobre Números Decimais e Sistema Monetário.
Introdução sobre Números Decimais e Sistema Monetário

Segue abaixo algumas imagens sobre situações cotidianas em jornais, revistas e propagandas sobre preços de produtos, nos quais os Números Decimais estão inseridos.





Também, segue abaixo a introdução sobre os Números Decimais e Sistema Monetário em arquivo PDF, para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar. Nela, há o conceito de números decimais, frações decimais, leitura e escrita de números decimais, leitura e escrita de nosso sistema monetário. 

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Introdução sobre Números Decimais e Sistema Monetário






Exercícios básicos de Equações do 1º Grau

- 10 de maio de 2017 Sem comentários
Aplicando o tema com uma turma na escola em que trabalho, entreguei aos alunos uma lista com exercícios básicos de Equações do 1º Grau.
Exercícios básicos de Equações do 1º Grau


Realmente, os exercícios são bem simples, mas são bons para quem está no começo dos estudos desse conteúdo.

Segue a lista de exercícios em arquivo PDF, para você salvar, imprimir, e estudar em qualquer lugar! Primeiro, estão os 5 exercícios, e no final estão as respostas. 


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Técnicas e Regras de Sinais em Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

- 7 de março de 2017 Sem comentários
Na Matemática, em qualquer fórmula, utilizamos todas ou quase todas as operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Geralmente, multiplicação e divisão são os conteúdos em que as pessoas sentem mais dificuldades. Por esse motivo, continuaremos os estudos sobre essas duas operações matemáticas, agora com Técnicas e Regras de Sinais em Multiplicação e Divisão de Números Inteiros.

  Técnicas e Regras de Sinais em Multiplicação e Divisão de Números Inteiros


Como já sabemos, multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Em nosso artigo Técnicas de Multiplicação nos Números Naturais, colocamos algumas definições, demonstrações, técnicas e até uma tabuada de multiplicação. No artigo Técnicas de Divisão nos Números Naturais fizemos o mesmo. Neste artigo, nos preocuparemos mais com as regras de sinais que compõem o Conjunto dos Números Inteiros, pois as multiplicações e divisões seguem as mesmas técnicas, só aplicando as regras de sinais. 

Chamamos de Números Inteiros, os números que são inteiros (números exatos), positivos e negativos. Após o surgimento das primeiras civilizações e com o crescimento do comércio, houve a necessidade do ser humano calcular lucro e prejuízo, débito e crédito, e com isso começaram a utilizar o sinal "−" para simbolizar que algo estava sendo retirado. Demais explicações sobre esse conjunto, inclusive com explicações sobre as regras de sinais na adição e subtração, está em nosso artigo Conjunto dos Números Inteiros. Neste artigo, nos preocuparemos em demonstrar as regras de sinais na multiplicação e divisão. 

Como nosso objetivo é auxiliar nos estudos da Matemática básica, seja para alunos de ensino fundamental, médio e concursos públicos, não faremos as demonstrações de teoremas ou postulados sobre as regras de sinais (tem muita gente boa demonstrando na internet, seja em blogs ou vídeos), e sim tentar simplificar ao máximo essas regras, junto aos cálculos, para que os amigos entendam numa linguagem simples. Para quem prefere uma demonstração pura, recomendo o artigo no blog do meu amigo Edigley Alexandre e a videoaula do canal Toda a Matemática


Para calcular Multiplicações nos Números Inteiros, basta calcular normalmente e utilizar as regras de sinais. Deixaremos os sinais entre parênteses para uma melhor visualização:

(+) . (+) = (+)

(-) . (-) = (+)

(+) . (-) = (-)

(-) . (+) = (-)


Sinais iguais: resultado positivo

Sinais diferentes: resultado negativo


Para explicar o motivo, podemos recorrer a algumas técnicas. Por exemplo, considerando o sinal positivo (+) como uma afirmação, então estamos afirmando que algo seja positivo, ou seja, (+) . (+) = (+). Assim como afirmamos que algo seja negativo, ou seja, (+) . (-) = (-).

Considerando o sinal negativo (–) como uma negação, então estamos negando que algo seja negativo, ou seja, (-) . (-) = (+). Assim como negamos que algo seja positivo, ou seja, (-) . (+) = (-). 

Assim como, considerando o sinal negativo (-) como simétrico, então o simétrico de um número negativo é um número positivo (-) . (-) = (+), e o simétrico de um número positivo é um número negativo (-) . (+) = (-). 

Na prática, podemos multiplicar um crédito: (+3) . (+5) = +15, ou seja, estou triplicando o meu crédito de 5 reais, ganhei 3 vezes 5 reais, então estou com crédito de 15 reais. 

Assim como podemos multiplicar um débito: (+3) . (-5) = -15, ou seja, estou triplicando o meu débito de 5 reais, estou devendo 3 vezes 5 reais, então estou com débito de 15 reais. Esse cálculo pode ser inverso, (-3) . (+5) = -15, afirmando que devo 5 vezes 3 reais, estando com débito de 15 reais.

Finalizando, no cálculo (-3) . (-5), podemos considerar alguém anulando as três dívidas de 5 reais que tenho, me deixando positivamente com 15 reais. 


Segue alguns exemplos: 


(+4) . (-5) = -20

(-8) . (-9) = +72

(+7) . (+3) = +21

(-15) . (+4) = -60

(-32) . (-4) = 128

18 . 54 = 972

58 . (-23) = -1334

(-314) . 59 = -18526

Lembrando que, em números positivos, não há a obrigação de colocar o sinal positivo (+).


Na Divisão, a regra de sinais segue os mesmos parâmetros. Segue alguns exemplos de divisão nos Números Inteiros, lembrando que as divisões são calculadas normalmente, utilizando as regras de sinais.

Segue alguns exemplos:


(-15) : (+3) = -5

(+54) : (+2) = 27

371 : (-7) = -53

(-2115) : (-3) = 705

1575 : 63 = 25

(-852) : 12 = -71

81 : (-9) = -9

(-987) : (-47) = 21

Lembrando que, em números positivos, não há a obrigação de colocar o sinal positivo (+).


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Técnicas e Regras de Sinais em Multiplicação e Divisão de Números Inteiros


Técnicas de Divisão nos Números Naturais

- 1 de fevereiro de 2017 Sem comentários
De acordo com alguns dicionários, divisão significa “partir ou distinguir em diversas partes”; “separar diversas partes”; “cada uma das partes”; “porções de um todo”; entre outras definições. Com o objetivo de sempre auxiliar os amigos no estudo da Matemática básica, veremos neste artigo algumas Técnicas de Divisão nos Números Naturais. 
  Técnicas de Divisão nos Números Naturais


Na prática, a divisão é a operação inversa da multiplicação. No exemplo utilizado no artigo anterior, Técnicas de Multiplicação de Números Naturais, colocamos o exemplo da compra de uma caixa de leite no supermercado, no qual, comprando uma caixa contendo 12 caixas de leite a R\$ 3,00 cada, será pago o valor de R\$ 36,00 ( 12 . 3 = 36). Na operação inversa, podemos dizer que, comprando uma caixa contendo 12 caixas de leite, no valor total de R\$ 36,00, qual o valor de cada caixa? 

36 : 12 = 3, ou seja, inverso da multiplicação 12 . 3 = 36. 

Também podemos dizer que, comprando uma caixa contendo algumas caixas de leite, no valor de R\$ 3,00 cada, quantas caixas haviam no total se paguei R\$ 36,00? 

36 : 3 = 12, ou seja, inverso da multiplicação 3 . 12 = 36. 

Neste artigo, não mostraremos as propriedades da divisão, pois já trabalhamos com esses conceitos no artigo Conjunto dos Números Naturais deste blog e na videoaula Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação de Números Naturais em nosso canal Matemática é Fácil no YouTube. 

Lembrando aos amigos que, se a divisão é a operação inversa da multiplicação, então, mais uma vez, digo que é importante conhecer a tabuada. Apesar de algumas críticas sobre a memorização da mesma, a tabuada, na minha opinião, ainda é o meio mais eficaz de aprendizagem. 

Segue em anexo um arquivo em PDF, com alguns exemplos de divisões, com explicações passo a passo, algumas técnicas para facilitar os cálculos, também algumas situações – problema. 


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Grande abraço e bons estudos!




Técnicas de Multiplicação nos Números Naturais

- 17 de janeiro de 2017 Sem comentários
De acordo com alguns dicionários, multiplicação significa: “ato ou efeito de multiplicar(-se)”; “operação entre dois números inteiros que tem por fim somar um deles tantas vezes quantas forem as unidades do outro”; “é uma forma usada pela Matemática para expressar aumento de quantidades dobradas, triplicadas, quadruplicadas e assim por diante”; entre outras definições. Com o objetivo de sempre auxiliar os amigos no estudo da Matemática básica, veremos neste artigo algumas Técnicas de Multiplicação nos Números Naturais. 
https://www.youtube.com/c/MatematicaefacilBr

Na prática, a multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Por exemplo, se vou comprar no supermercado uma caixa contendo 12 caixas de leite, e cada caixa de leite custa R$ 3,00, ao invés de somar 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 36, simplifico os cálculos utilizando a multiplicação, calculando 3 x 12 ou 12 x 3 = 36, também demonstrado por 3 . 12 ou 12 . 3. 

Neste artigo, não mostraremos as propriedades da multiplicação, pois já trabalhamos com esses conceitos no artigo Conjunto dos Números Naturais deste blog e na videoaula Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação de Números Naturais em nosso canal Matemática é Fácil no YouTube. 

Lembrando aos amigos que a melhor forma de calcular as multiplicações com facilidade é conhecer bem a Tabuada. Apesar de algumas críticas sobre a memorização da mesma, a tabuada, na minha opinião, ainda é o meio mais eficaz de aprendizagem. 

https://www.youtube.com/c/MatematicaefacilBr

Lembrando também que podemos representar as multiplicações pela letra x ou por ponto (.). Geralmente, quando o cálculo está montado horizontalmente representamos por ponto (.) para não confundir com Equações do 1º Grau; e quando a o cálculo está montado verticalmente, representamos pela letra x. 

Segue em anexo um arquivo em PDF, com alguns exemplos de multiplicações, com explicações passo a passo, algumas técnicas para facilitar os cálculos (alguns cálculos podem até ser feitos “de cabeça”), alguns conceitos contidos em exercícios de escolas, concursos públicos e vestibulares, também algumas situações – problema. 


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Batprova de Matemática para o 7º ano

- 1 de outubro de 2016 4 comentários
Idealizada pelo professor de Matemática, Felipe Augusto, e cedida gentilmente numa comunidade do Facebook para Professores de Matemática, fomos autorizados (também gentilmente) a disponibilizar para vocês a Batprova de Matemática para o 7º ano.

Batprova de Matemática para o 7º ano

O foco principal que chamou a atenção de todos nós, nesta e em outras provas que o professor disponibilizou (aos poucos vou postando aqui no blog), foi a grande criatividade do professor Felipe Augusto. Infelizmente não tenho essa criatividade, mas aprecio e parabenizo esse grande trabalho!

Os cálculos em si, são simples. O que pode dificultar esta Batprova de Matemática são as interpretações das questões. Apliquei esta Batprova em minhas turmas na escola em que trabalho, e realmente, por falta de uma cultura leitora (estamos lutando para melhorar essa situação), nossos alunos tiveram uma certa dificuldade, mas adoraram o tema da prova. 

Para vocês, meus amigos que acompanham este blog, segue em anexo a Batprova de Matemática para o 7º ano, em arquivo PDF, para vocês salvarem, imprimirem e estudarem em qualquer lugar. Inclusive, coloquei uma folha de respostas logo abaixo da Batprova. Fiquem a vontade em aplicar para seus alunos, filhos, familiares, amigos, etc. 


Agradeço muito o professor Felipe Augusto, parabéns e muito obrigado!!!


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Grande abraço e até a próxima!!!




10 exercícios sobre Frações

- 3 de setembro de 2016 2 comentários
Nesta postagem, segue uma atividade de Matemática com 10 exercícios sobre Frações. Atividade simples, que passei para os alunos na escola em que trabalho. Apesar de simples, sempre é bom treinar, no que muitas vezes, mesmo pensando que não, ainda temos dúvidas ou confundimos algo. Esta atividade serve também para você aplicar para seus alunos, filhos, sobrinhos, entre outros. 

10 exercícios sobre Frações


Segue a atividade com 10 questões (e suas respostas abaixo) em arquivo PDF para salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar. 

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Muito obrigado pela companhia de sempre, grande abraço!



10 exercícios sobre Conjunto dos Números Naturais

- 27 de maio de 2016 Sem comentários
Nesta postagem, segue uma atividade de Matemática no Conjunto dos Números Naturais. Atividade simples (com situações-problema, expressões numéricas e exercícios sobre sequências, potenciação e radiciação), que passei para os alunos na escola em que trabalho. Apesar de simples, sempre é bom treinar, no que muitas vezes, mesmo pensando que não, ainda temos dúvidas ou confundimos algo. Esta atividade serve também para você aplicar para seus alunos, filhos, sobrinhos, entre outros.

10 exercícios sobre Conjunto dos Números Naturais


Segue a atividade com 10 questões (e suas respostas abaixo) em arquivo PDF para salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar. 

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Muito obrigado pela companhia de sempre, grande abraço!


10 questões sobre Perímetro e Área de Figuras Planas

- 12 de dezembro de 2015 2 comentários
Em aquivo PDF, especialmente para você, postamos 10 questões sobre Perímetro e Área de Figuras Planas. Com esse arquivo (que contém as questões e suas resoluções), você pode salvar em seu computador e estudar em qualquer lugar sem precisar do acesso à internet, além da possibilidade em imprimir esse documento.

10 questões sobre Perímetro e Área de Figuras Planas


Esses exercícios complementam a postagem anterior, Tudo sobre Perímetro e Área de Figuras Planas, continuando os nossos estudos de Geometria. 

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Grande abraço!



10 questões sobre Frações

- 28 de outubro de 2015 Sem comentários
Em mais uma postagem sobre atividades da EMEF Saturnino Pereira, escola municipal de SP, seguem 10 questões sobre Frações. As questões fazem parte de um projeto da escola que é incentivar a competência leitora e escritora de nossos alunos.

10 questões sobre Frações


Segue em anexo um arquivo em PDF com essas questões e seu gabarito, assim você pode baixar em seu computador ou imprimir. Caso tenham dificuldades em resolver, fale conosco. Essas questões serão publicadas aos poucos em nossa página no Facebook


Espero que seja útil a vocês, um grande abraço!



10 questões sobre Perímetro e Área de Figuras Geométricas Planas

- 10 de outubro de 2015 Sem comentários
Em mais uma postagem sobre atividades da EMEF Saturnino Pereira, escola municipal de SP, seguem 10 questões sobre Perímetro e Área de Figuras Geométricas Planas. As questões fazem parte de um projeto da escola que é incentivar a competência leitora e escritora de nossos alunos. 

10 questões sobre Perímetro e Área de Figuras Geométricas Planas


Segue em anexo um arquivo em PDF com essas questões e seu gabarito, assim você pode baixar em seu computador ou imprimir. Caso tenham dificuldades em resolver, fale conosco. Essas questões serão publicadas aos poucos em nossa página no Facebook


Espero que seja útil a vocês, um grande abraço!