Novidades

Últimos artigos
Artigos na categoria: "História da Matemática"

Grandes Matemáticos: Pierre-Simon Laplace

- 17 de fevereiro de 2018 Sem comentários
Matemático e Físico francês, nasceu em 28 de março de 1749, em Beaumont-em-cume, Normandia, França. De origem humilde – seus pais eram agricultores pobres – Laplace foi contemporâneo de Lagrange.

Grandes Matemáticos: Pierre-Simon Laplace


O seu pai teve uma fazenda pequena e ele não pôde dar muita educação ao filho. Porém, quando Laplace revelou ter um talento extraordinário, principalmente para a Matemática, alguns de seus parentes e vizinhos satisfeitos sustentaram os seus estudos na Universidade de Caen. Deste modo apenas algum ano depois de sua graduação nesta Universidade, obteve a posição de professor na Escola Militar da pequena população de Beaumont.

Segundo o site ariadne.if.uff.br/~didatico/page78.html

“Para a idade de dezoito anos, Laplace era distinto como professor e matemático na escola militar da pequena população de Beaumont. Mas, para ele, Paris era a única cidade para a qual entraria no grande mundo da ciência. Adquiriu cartas de recomendação e, em 1767, partiu para Paris para pedir a ajuda do distinto matemático francês d'Alembert. Quando foi apresentado na casa deste, foi recebido com desculpas cortês, mas ele disse adeus a este sem entrevistar o matemático. As semanas passaram e continuou sem obter uma audiência.”


Segundo o livro História da Matemática, Howard Eves:

“Como esse expediente não surtisse nenhum efeito, ele próprio escreveu uma carta a d’Alembert, onde expôs brilhantemente os princípios gerais da mecânica. Foi o quanto bastou e d’Alembert lhe respondeu: “Senhor, como percebeu, quase não dei atenção às suas cartas de recomendação. Elas, porém, não eram necessárias; o senhor soube se apresentar muito melhor. ”

Com ajuda de d'Alambert, obteve mais tarde a nomeação para ser professor de Matemática na École Polytechnique (Escola Militar de Paris), e estava assegurado a sua entrada no mundo da ciência. 

O primeiro trabalho científico de Laplace foi a sua aplicação da Matemática para as mecânicas celestiais. Para Newton e outros astrônomos era impossível explicar as divergências dos planetas das suas órbitas, preditas matematicamente. Deste modo, por exemplo, foi determinado que Júpiter e Saturno às vezes se adiantavam, e outros eles estavam atrasados com respeito às posições que deveriam ocupar nas suas órbitas. Laplace inventou uma teoria, que confirmou com testes matemáticos, que as variações eram normais e elas eram corrigidas somente no curso de fases longas de tempo. Foi considerado que sua teoria é tinham grande importância para se entender às relações dos corpos celestiais no Universo, e apoiou o teste do tempo sem sofrer mais que correções relativamente secundárias. 

Os anos seguintes foram de investigações frutíferas para Laplace que estava clarificando o conhecimento científico sobre as forças elementares da Natureza e do Universo. Escreveu artigos sobre a força da gravidade, o movimento dos projéteis e o fluxo e refluxo das marés, a precisão dos equinócios, a forma e rotação dos anéis de Saturno e outros fenômenos.

Estudou o equilíbrio de uma massa líquida em rotação; também inventou uma teoria sobre a tensão superficial que era semelhante ao conceito moderno da atração ou coesão molecular dentro de um líquido. Trabalhando com Lavoisier, estudou o calor específico e a combustão de diversas substâncias, e iniciou os fundamentos da ciência moderna da termodinâmica. Inventou um instrumento, conhecido com o nome de calorímetro de gelo, para medir o calor específico de uma substância. O calorímetro media a quantidade de gelo fundida pelo determinado peso de uma substância quente cuja temperatura era conhecida. Então, poderia ser calculado o seu calor específico matematicamente.

Quando estudou a atração gravitacional de um esferóide sobre um objeto externo, inventou o que é conhecido hoje como equação de Laplace que é usada para calcular o potencial de uma magnitude física em um determinado momento enquanto está em movimento contínuo. Esta equação não só tem aplicação na gravitação, mas também na eletricidade, na hidrodinâmica e em outros aspectos das físicas. 

Laplace foi o mais influente dentre os cientistas franceses em toda a história. Sua reputação o tornou célebre e imortal, ficando conhecido como o “Newton francês”. Sua carreira foi importante por suas contribuições técnicas para as ciências exatas, para o ponto de vista filosófico que ele desenvolveu durante sua vida e pela parcela que tomou parte na formação das modernas disciplinas científicas. 

Laplace era um escritor prolífero e após sua eleição para a Academia de Ciências, em 1773, o secretário escreveu que a Academia nunca havia recebido tantos trabalhos importantes de pesquisa de uma pessoa tão jovem em tão pouco tempo.

Laplace tinha pouco interesse na Matemática pura - ele considerava a Matemática meramente como uma ferramenta para resolver problemas aplicados. Na sua impaciência com o detalhe matemático, frequentemente omitia raciocínios complicados com a frase "É fácil mostrar que...". Ele admitiu, no entanto, que, com o passar do tempo, frequentemente ele mesmo tinha dificuldade para reconstruir os detalhes omitidos! Com o peso de sua fama, Laplace serviu em muitos comitês do governo, ocupou os postos de Ministro do Interior e chanceler do Senado. Por pouco, conseguiu escapar da prisão e da execução durante o período da revolução, provavelmente por causa de sua habilidade em convencer cada partido oponente que ele os apoiava. Napoleão o descreveu como um grande matemático, mas um administrador medíocre que "procurava sutilezas em tudo, tinha somente ideias ambíguas e carregou o espírito do infinitamente pequeno para dentro da administração". Apesar de ser um gênio, Laplace era egoísta e inseguro, tentando garantir seu lugar na história convenientemente deixando de dar crédito aos matemáticos cujo trabalho ele usava - uma mesquinhez desnecessária, uma vez que seu próprio trabalho era tão brilhante. Porém, no lado positivo, apoiava os matemáticos jovens, geralmente tratando-os como seus próprios filhos. Laplace é classificado como um dos matemáticos mais influentes da história. Ainda em vida, foi escolhido para se tornar um dos quarenta Imortais da Academia Francesa.

Laplace morreu em 05 de março de 1827 em Paris, França, poucos dias antes de completar 78 anos, exatamente um século depois do falecimento de Isaac Newton. Segundo um relato, suas últimas palavras foram: 

“O que sabemos é insignificante; o que não sabemos é imenso”. 


Obras e contribuições


A vida de Laplace como cientista pode ser dividida em quatro períodos, todos eles apresentando novas descobertas e evoluções. 

No primeiro período (1768-1778), Laplace desenvolveu a solução de problemas de cálculo integral, matemática astronômica, cosmologia e teoria de chances de jogos. Durante este período formativo, ele estabeleceu seu estilo, reputação, posição filosófica, certas técnicas matemáticas e um programa de pesquisa em duas áreas: probabilidade e mecânica celestial, nas quais, a partir de então, trabalhou para o resto de sua vida. 

No segundo período (1778-1789), ele iniciou a pesquisa na sua terceira área de maior interesse: a física. Sua colaboração foi, juntamente com Lavoisier, relativa à teoria do calor. Obras: Mémoire sur la chaleur (1783), resultado de sua colaboração com Lavoisier. Théorie du mouvement et de la figure elliptique dês planètes (1784).

O terceiro e revolucionário período (1789-1805), centralizou-se na preparação do Sistema Métrico. Mais importante, na década de 1795 a 1805, sua influência foi fundamental para as ciências exatas no mais novo instituto fundado da França: a Escola Politécnica foi o local onde a primeira geração de físicos matemáticos foi treinada. Obra: “L’Exposition du Système du Monde”.

O trabalho do quarto período (1805-1827) exibe elementos de culminação e declínio. Laplace, em companhia de Berthollet, fundou uma escola, circundando ele mesmo com disciplinas na informal Société d'Arcueil (1807), um ambicioso programa de pesquisas: aplicar a visão newtoniana do mundo à física molecular, aplicando matematicamente as leis de Newton aos fenômenos da luz, calor, som, eletricidade e magnetismo. A sociedade começou com nove membros, entre os quais se encontram os nomes de Biot, Poisson, Arago e Malus e teve no máximo 13 membros. Havia reuniões nos segundos domingos de cada mês na casa de Berthollet em Arcueil. Dispunham de um laboratório, uma biblioteca e de um gabinete de trabalho. Desde 1807 foram publicados 3 volumes de memórias, as “Mémoires de la Societé Chimique d’Arcueil.” A sociedade durou 10 anos e terminou com a morte de Berthollet em 1822.

No começo de 1810, Laplace voltou novamente sua atenção para a probabilidade, tomando como tópico fundamental a teoria dos erros. Também foi abordado o problema dos quadrados mínimos. É neste período que Laplace desenvolve um método de solução integral para equações diferenciais: a Transformada de Laplace, cuja teoria, aliás, o consagrou na área de cálculo devido à praticidade oferecida na resolução de equações diferenciais. 


Mecânica Celeste


Na obra de Laplace é feita aplicação considerável de análise avançada. É típico seu estudo das condições de equilíbrio de uma massa fluida em rotação, assunto que ele considerou em conexão com a hipótese da origem do sistema solar. A hipótese fora apresentada em forma popular em 1796 em Exposition du système du monde livro que está para a Mécanique celeste (1799 – 1825, 5 vols.) na mesma relação que Essai philosophique dês probabilités está para Théorie analytique. De acordo com a teoria de Laplace o sistema se originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo. Ao esfriar, o gás se contraiu, causando rotação cada vez mais rápida, de acordo com a conservação do momento angular, até que anéis sucessivos se desprendam da camada externa condensando-se e formando planetas. O Sol em rotação constitui o cerne restante da nébula. A ideia atrás dessa hipótese não era inteiramente original de Laplace, pois fora proposta em forma qualitativa e esquemática por Thomas Wright e Immanuel Kant, mas o revestimento quantitativo faz parte da Mécanique celeste.

A publicação desta obra é considerada comumente como marcando a culminação do ponto de vista newtoniano sobre a gravitação. Explicando todas as perturbações do sistema solar, Laplace mostrou que os movimentos são seculares, de modo que o sistema pode ser considerado estável. Não parecia mais ser necessário admitir ocasional intervenção divina. Diz-se que Napoleão comentou com Laplace o fato de estão não mencionar Deus em sua obra monumental, ao que se conta que a resposta de Laplace foi: “Não preciso dessa hipótese”. Quando contaram isso a Lagrange, este teria dito: “Ah, mas é uma bela hipótese”.

Laplace completou não só a parte gravitacional dos Principia de Newton, mas também alguns pontos de física. Newton tinha computado a velocidade do som em bases puramente teóricas, mas viu que isso lhe dava um valor demasiadamente pequeno. Laplace foi o primeiro a observar, em 1816, que a discrepância entre o valor calculado e o observado se devia a que os cálculos em Principia eram baseados na hipótese de compressões e expansões isotérmicas, ao passo que na realidade as oscilações para o som são tão rápidas que as compressões são adiabáticas, aumentando, assim a elasticidade do ar e a velocidade do som.


Teoria das Probabilidades


A teoria das probabilidades deve mais a Laplace que a qualquer outro matemático. A partir de 1774 ele escreveu muitos artigos sobre o assunto, cujos resultados ele incorporou no clássico Théorie analytique dês probabilités de 1812. Ele considerou a teoria em todos os aspectos e em todos os níveis, e seu Essai philosophique dês probabilités de 1814 é uma exposição introdutória para o leitor comum. Laplace escreveu que “no fundo a teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números”; mas sua Théorie analytique mostra a mão de um mestre da análise que conhece seu cálculo avançado. Está cheio de integrais envolvendo funções beta e gama; e Laplace foi um dos primeiros a mostrar que ∫∞-∞ e-x2 dx, a área sob a curva de probabilidade, é √π. O método pelo qual obteve resultado era um tanto artificial, mas não está longe do artifício hoje usado de transformar. 

∫∞0 e-x2 dx. ∫∞0 e-y2 dy = ∫∞0 ∫∞0 e-(x2+y2) dx dy

Para coordenadas polares como 

∫π/2∫∞0 re-r2 dr dσ

Que se calcula facilmente e leva a 

∫∞0 e-x2 dx = √π/2

Entre muitas coisas a que Laplace chamou a atenção em sua Théorie analytique está o cálculo de p através do problema da agulha de Buffon que tinha sido praticamente esquecido por trinta e cinco anos. Esse é conhecido às vezes como problema da agulha de Buffon-Laplace, pois Laplace estendeu o problema original a um reticulado de duas coleções perpendiculares entre si de retas paralelas eqüidistantes. Se as distâncias são a e b, a probabilidade de que a agulha de comprimento l (menor que a e b) caia sobre umas das retas é

p = 2l (a-b) – l2 / πab


Equação Diferencial de Laplace


Sua importância central está na matemática pura e na física matemática. Uma função u(x,y) que possui primeira e segunda derivadas parciais contínuas e que satisfazem a equação de Laplace num ponto da vizinhança é chamada harmônica naquele ponto. 

Esta equação é utilizada para definir o fluxo de eletricidade e o fluxo de qualquer fluido incompressível. 


Estudos sobre a Teoria do Calor


O assunto enfocado por Laplace, juntamente com Lavoisier, nesta área refere-se à ideia de medir a quantidade de calor durante o processo de fusão de uma certa quantidade de gelo. Tal estudo é dividido em quatro partes: a primeira discute a natureza do calor e a sua quantificação; a segunda, a determinação dos calores específicos de substâncias selecionadas e de alguns calores de reação; a terceira consequências teóricas e um programa para químico-física; e a quarta, a aplicação das técnicas no estudo da combustão e da respiração. 


A velocidade do som


Em 1802, Laplace fez uma de suas mais duradouras contribuições para a ciência, num artigo que foi escrito por seu jovem pupilo Biot: " Sur la théorie du som" no Jornal de fuxique. Usando um conhecimento de fenômenos adiabáticos, os quais tinham se tornado disponíveis na França recentemente, Laplace sugeriu a Biot, como a notória discrepância de aproximadamente 10 por cento entre o valor experimental para a velocidade do som no ar e o valor calculado usando a expressão de Newton, v=(P/p)1/2 , poderia ser removida. De acordo com Laplace, a discrepância surgiu da negligência por parte de Newton das mudanças na temperatura que ocorriam nas regiões de compressão e rarefação que compunham a onda sonora. 


A Transformada de Laplace 


Esta era uma transformada integral extensivamente usada por Laplace na teoria da probabilidade. 

A Transformada de Laplace é usada para a solução de equações diferenciais, para o cálculo de integrais definidas e em muitos ramos da matemática abstrata (análise funcional, cálculo operacional e teoria analítica numérica). 


O Laplaciano 


O operador Laplaciano é envolvido em algumas das mais fundamentais equações da física matemática, a saber, equação de Laplace, equação de Poisson, várias equações de onda (como as de eletricidade e magnetismo, som, vibrações, a equação de Schrödinger da mecânica quântica), as equações de fluxo de calor e de difusão. 


Demônio de Laplace


Demônio de Laplace é um experimento mental concebido pelo físico Pierre-Simon Laplace: de posse de todas as variáveis que determinam o estado do universo em um instante t, ele pode prever o seu estado no instante t' > t.

Tal conceito é sustentado, conforme aponta o filósofo Lyotard em seu clássico "A Condição pós-moderna", "pelo princípio de que os sistemas físicos, inclusive o sistema dos sistemas que é o universo, obedece a regularidades, que por conseguinte sua evolução delineia uma trajetória previsível e dá lugar a funções contínuas 'normais' (e à futurologia...)".



Acompanhe as próximas postagens, fique atento! Para não perder nada, assine gratuitamente o nosso blog!  


Grande abraço e bons estudos!!!


Histórias e conceitos do Quadrado Mágico

- 12 de novembro de 2017 Sem comentários
Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de lado n, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. Esses quadrados são bem semelhantes aos trabalhos com matrizes. 


Existem diversas versões sobre a origem dos quadrados mágicos, mas a maior evidência é que tenha vindo da China ou Índia, por volta de 3000. O nome quadrado mágico foi dado pois na época achava-se que esses tipos de quadrados tivessem poderes especiais, fazendo com que muitos usassem gravados em metal ou em pedra, em forma de amuletos ou talismãs. 

No século XV, os quadrados mágicos ficaram conhecidos na Europa a partir da obra “Tratado de Quadrados Mágicos” do escritor bizantino Manuel Moschopoulos. Na época, eram relacionados com a alquimia e a astrologia, e um quadrado mágico gravado numa placa de prata era usado como amuleto contra a peste. Em 1510, aproximadamente, Heinrich Cornelius Agrippa escreveu “De Occulta Philosophia”, que falava de quadrados mágicos de ordem 3 até a ordem 9 que eram associados aos planetas astrológicos. Esses tipos de quadrados mágicos, sua história e aplicações podem ser vistos no trabalho do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra.

Existem diversos tipos de quadrados mágicos, e o mais conhecido é o quadrado de ordem 3. Coloca-se números de 1 a 9 sem repetição, no quais somam-se cada linha, coluna e diagonal, com resultado 15.

Exemplos: 



Existem algumas respostas para esse tipo de quadrado mágico, portanto, os números pares sempre permanecem nas pontas, não podendo estar na mesma linha os números 4 e 6. 


Pode-se trabalhar também outros quadrados mágicos, sendo esse exemplo o mais simples.

Acompanhe as próximas postagens, fique atento! Para não perder nada, assine gratuitamente o nosso blog! 


Grande abraço!!!

Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes

- 9 de novembro de 2017 Sem comentários
Determinante de uma matriz quadrada é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras. Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à Álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, conforme trabalhado nos conteúdos de determinantes e sistemas lineares. Neste artigo, vamos conhecer um pouco das Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes.
Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes

Os trabalhos com matrizes e determinantes iniciaram no século II a.C. Os babilônios estudaram problemas que tiveram como soluções sistemas lineares de duas variáveis, no qual estão preservados em tabletes de argila. Os chineses tiveram grandes contribuições, mostrando os primeiros exemplos com matrizes no texto “Nove capítulos da arte Matemática”. Apesar de seu início na antiguidade, os trabalhos com matrizes tiveram contribuições de Josefh Louis Lagrange, em 1790 (trazendo o primeiro uso implícito da noção de matriz), mas foram retomados somente no século XIX (considerado um dos períodos mais revolucionários em termos de avanços matemáticos), com Augustin-Louis Cauchy em 1826, dando o nome de tableau (tabela). Diversos trabalhos foram desenvolvidos pelos matemáticos ingleses Arthur Cayley e James Joseph Sylvester. Foi Sylvester, em 1850, que colocou o nome matriz (local onde algo se gera ou cria), no qual via como “um bloco retangular de termos”. Foi Cayley, com sua famosa “Memoir on the Theory of Matrices”, em 1858, que divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade, desmistificando o conceito de matrizes sendo um mero ingrediente de determinantes, passando a ter vida própria. 

As matrizes possuem grande importância na Matemática e no cotidiano do ser humano, utilizadas nas áreas como Economia, Engenharia, Física, Biologia, Computação, entre outros. Um exemplo prático são os pixels da tela de um computador, tomando como exemplo uma tela com 640 x 480 pixels. Esses números indicam que a tela é formada por uma tabela com 307.200 pontos (área da tela), ou pixels. Essa tabela tem 480 pontos de altura e 640 pontos de largura. Para localizar um ponto nessa tabela, você pode dar como endereço um par (a,b), onde A seria a linha e B a coluna. As matrizes organizam os números em forma de tabela, e permitem localizar um número por meio de um par (a,b) tal como na tela do computador, guardando em cada posição a sua cor. Numa tela com 256 cores, cada pixel guarda um número entre zero e 255, dando 256 possibilidades, ou 2^8 (2 elevado a 8). Esse exemplo também é válido para telas de televisores. 

Em boletins escolares, o uso de matrizes também é normal, conforme exemplo abaixo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:



 Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9

           
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Histórias e Aplicações de Matrizes e Determinantes

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.

Outras aplicações práticas de matrizes estão detalhadas no trabalho acadêmico “Algumas aplicações de matrizes”, da Universidade Federal de Santa Catarina. Nesse artigo, além de explicações, operações e propriedades de matrizes, há algumas aplicações práticas como o uso de matrizes na criptografia, em modelos populacionais e na “Cadeia de Markov”, um processo no qual a probabilidade de um sistema estar em determinado estado em um dado período de observação depende apenas do estado no período de observação imediatamente anterior.

Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Carley, lembrando que antes dele, as matrizes eram ingredientes das determinantes. A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz, em 1693, na criação da Teoria dos Determinantes, visando o estudo de sistemas de equações lineares, embora considerações semelhantes já tivessem sido feitas dez anos antes pelo japonês Seki Kowa (considerado o maior matemático japonês do século XVII). Em 1750, o matemático e astrônomo suíço Gabriel Cramer publicou a solução de sistemas lineares, por meio da famosa “Regra de Cramer”, na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin, mas com grande contribuição de Cramer. O francês Étienne Bézout sistematizou, em 1764, o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. Outro francês, Alexandre Vandermonde, em 1771, empreendeu a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares, embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante Teorema de Laplace foi demonstrado no ano seguinte pelo francês Pierre Laplace. 

O termo determinante, com o atual sentido, surgiu em 1812 num trabalho de Augustin-Louis Cauchy, no qual sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (apesar da atual com duas barras verticais aos lados do quadrado de números só surgiu em 1841 com Arthur Cayley) e demonstrou o teorema da multiplicação de determinantes, após a primeira demonstração, meses antes, de Jacques Philippe Marie Binet.

Um dos matemáticos que mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes, além de Cayley, foi o alemão Carl Gustav Jakob Jacobi, conhecido como “o grande alegorista”. Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje em dia.


Acompanhe as próximas postagens, fique atento! Para não perder nada, assine gratuitamente o nosso blog!  


Grande abraço e bons estudos!


Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes




Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

- 8 de junho de 2017 Sem comentários
Com um misto de História da Matemática e da Educação Matemática, História da Humanidade, um grande acervo sobre a África (com alguns de seus diversos sistemas de numeração, a Matemática no antigo Egito e seus papiros, e a utilização da Matemática em sua cultura) e estudos sobre o Programa Etnomatemática, apresentamos a vocês, a Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano. 

Em nosso blog, já temo artigo sobre o Programa Etnomatemática e alguns sobre a Matemática no Continente Africano. Agora, disponibilizo as imagens dos slides em Power Point de uma apresentação que fiz para escolas, em parceria com um grupo de estudos étnico-raciais da Universidade de São Paulo (USP), com os temas abordados acima.

Segue abaixo as imagens dos slides, e no final de cada tópico abordado, tem o endereço com o artigo completo em nosso blog. 


Acompanhe as próximas postagens, fique atento! Para não perder nada, assine gratuitamente o nosso blog!


Grande abraço e bons estudos!


Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano


Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano


Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano