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Afinal, para que serve a Matemática?

- 13 de setembro de 2018 Sem comentários
Ao mesmo tempo que estamos rodeados pela Matemática em praticamente todos os momentos de nossa vida, na maioria desses momentos estamos também rodeados por pessoas que odeiam a Matemática. E muitas dessas pessoas fazem o mesmo questionamento: Afinal, para que serve a Matemática? 

Afinal, para que serve a Matemática?


Partindo do contexto histórico, desde o surgimento do ser humano, a Matemática faz parte do cotidiano das pessoas. O “homem pré-histórico” utilizava a Matemática intuitivamente para caçar, pescar, colher e fazer suas moradias com madeiras e peles de animais. Fazia cálculos por meio de entalhes em madeiras e ossos, nós em cordas e contagens com pedras. 

Surgindo as chamadas civilizações, houve a necessidade da escrita e do número para auxiliar nas atividades cotidianas. Assim, surgiram os cálculos que conhecemos hoje. 

Ao longo da história da humanidade, a Matemática foi primordial para o progresso da mesma. Desde os cálculos do cotidiano, a invenção do calendário, o avanço da Astronomia, as construções, o entendimento de fenômenos naturais, o grande avanço da tecnologia, entre outros. 

Afinal, para que serve a Matemática?

Utilizamos a Matemática desde a hora em que acordamos até a hora em que vamos dormir, afinal, no mínimo precisamos colocar o relógio para despertar. A todo momento calculamos o tempo, seja para dormir, chegar ao trabalho e voltar para casa, o próprio horário de trabalho, almoço, lanche, etc. Todos os objetos que utilizamos foram feitos com cálculos matemáticos. Nossos aparelhos eletrônicos são pura Matemática. Além disso, em qualquer lugar que estivermos, estamos cercados de números: casas, prédios, lojas, informações, placas, etc. Estamos sempre preocupados com a previsão do tempo, o que também é pura Matemática. Assim como vibramos com o avanço da medicina e descoberta de novas vacinas. Na TV, jornais ou revistas, acompanhamos sempre porcentagens e gráficos referente a algum assunto. A lista é enorme... 

Afinal, para que serve a Matemática?


Podemos nos questionar o motivo de aprender certos cálculos e fórmulas na escola, mas todos são primordiais para nós, senão nada existiria. 


Afinal, para que serve a Matemática?

Segue abaixo uma relação simplista de onde usamos a Matemática. Os exemplos relacionados são poucos, comparados com tamanha importância da Rainha das Ciências: 


  • Qualquer objeto: roupas, calçados, cama, sofá, equipamentos, ferramentas; 

  • Tecnologia: celular, computador, TV, rádio, videogame, internet; 

  • Tudo que envolve dinheiro; 

  • Documentos: RG, CPF, carteira de habilitação, carteira de trabalho, título de eleitor; 

  • Lugares: número da casa, apartamento, sala de aula, CEP do endereço; 

  • Placa do carro, números das linhas de ônibus; 

  • Idade, altura e peso; 

  • Graus dos óculos, binóculos, telescópios; 

  • Construções; 

  • Máquinas: veículos, aviões, foguetes, indústrias; 

  • Qualquer modalidade esportiva: tempo, espaço, pontuações; 

  • Astronomia; 

  • Previsão do tempo e outros fenômenos da natureza; 

  • Música, cinema e teatro; 

  • Livros, jornais e revistas; 

  • Alimentos; 

  • Embalagens de qualquer natureza; 

  • Agricultura e pecuária; 

  • Medicina; 

  • Calendário. 


Lembrando que esses são poucos exemplos, e que a Matemática é totalmente primordial na vida de qualquer pessoa e qualquer tipo de sociedade. 


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Grande abraço!

2º Aulão de Matemática para Concursos Públicos em SP

- 28 de agosto de 2018 Sem comentários
Após o sucesso de nosso 1º Aulão, e atendendo a pedidos dos próprios alunos, vem aí o 2º Aulão de Matemática para Concursos Públicos em SP. 

2º Aulão de Matemática para Concursos Públicos em SP


Dessa vez, visando somente o concurso público para a Prefeitura de São Bernardo do Campo (diversos cargos). É claro que o aulão serve para diversos outros concursos públicos, pois os conteúdos são comuns em outros editais. 

A metodologia utilizada será, principalmente, a interpretação de questões de concursos públicos, no qual grande parte dos conteúdos são identificados por meio de palavras-chave. Nas resoluções, valorizaremos os cálculos da Matemática básica e conversaremos sobre dicas de estudos. 

O local é um ótimo espaço que fica próximo a Estação Barra Funda do Metrô, num condomínio com conforto e segurança.

2º Aulão de Matemática para Concursos Públicos em SP



Só participarão do Aulão os alunos que fizerem a matrícula antecipada, pois são somente 20 vagas. 

Após a confirmação da matrícula, você receberá por e-mail uma apostila digital com 20 arquivos PDF e mais de 100 questões de concursos públicos, além de conteúdos de Matemática básica. As questões a serem resolvidas no aulão serão retiradas somente desse material, para assim ganharmos tempo. Lembrando que, pelo tempo do aulão, será possível retirar poucos exercícios, mas estudaremos todos os conteúdos.

Você também irá participar de nosso grupo no WhatsApp, no qual diariamente envio questões de concursos públicos e as respostas comentadas de forma escrita e por áudio, além de dicas de estudos. O grupo continuará até o dia da prova, 23/09/2018.

2º Aulão de Matemática para Concursos Públicos em SP



O aulão será ministrado no sábado, dia 08/09/2018, com o mesmo grupo (uma única turma), em dois períodos: 

Manhã: 9h00 às 12h00 

Tarde: 13h00 às 16h00 

Dentro de cada período, haverá um intervalo de 15 minutos.

Almoço por conta do aluno. 


Segue abaixo o conteúdo programático 


Manhã 

  • Operações com Números Racionais (resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação com números racionais, nas suas representações fracionária ou decimal); 

  • Mínimo Múltiplo Comum; 

  • Máximo Divisor Comum; 

  • Equações do 1º grau; 

  • Razão e Proporção; 

  • Regra de Três Simples e Composta 

  • Relação entre grandezas: tabelas e gráficos (comum em outros conteúdos); 


Tarde 

  • Porcentagem; 

  • Média Aritmética Simples; 

  • Geometria: forma, ângulos, área, perímetro, volume, Teorema de Pitágoras ou Tales; 

  • Grandezas e Medidas: quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e massa (comum em outros conteúdos); 

  • Equações do 2º Grau; 

  • Sistemas de Equações do 1º Grau. 


O valor do investimento está em R$ 80,00 e a matrícula pode ser feita em depósito bancário ou pelo link do Pag Seguro que está abaixo:




Para matrícula ou maiores informações, entre em contato no telefone (11) 99345-3888 (celular e WhatsApp), ou no e-mail: jefferson.matematica@hotmail.com

Nosso livro, Matemática é Fácil! Provas resolvidas de concursos públicos, estará disponível no dia para quem quiser adquirir. O aulão é baseado no livro, que contém estratégias de resoluções de questões de concursos públicos e 20 provas resolvidas, com 200 questões. 


Apresentação 


Meu nome é Jefferson Santos, sou professor de Matemática da rede municipal de ensino em SP. Sou formado com Licenciaturas em Matemática e Pedagogia, e com Pós-Graduações em Finanças e Formação em Educação a Distância, além de diversos cursos em editoras, institutos, diretorias de ensino e universidades (USP, UNICAMP, entre outros). Atualmente, estou cursando Licenciatura em Ciências Biológicas. 



Trabalhos 


As aulas particulares de Matemática que leciono são para Ensino Fundamental, Médio e Concursos Públicos, além de aulas preparatórias para ETEC, SENAI e outros processos seletivos. 

As aulas particulares são presenciais em SP (domicílio ou bibliotecas) e via Skype para todo o Brasil. 

Aceitamos cartões de crédito e débito, presencial e online. 

Para as aulas de reforço escolar, trabalho com o material do aluno (livros, apostilas, lições e listas de exercícios) e com meus livros didáticos. Para aulas preparatórias de concursos públicos, trabalho com apostila de concursos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar. Envio apostila digital em PDF com os conteúdos exigidos nos editais. 


Objetivos 


Missão: Facilitar o aprendizado da Matemática, com conceitos básicos e objetivos, auxiliando na compreensão, autonomia, desenvolvimento e aprendizagem das pessoas. 

Visão: Ser referência no ensino da Matemática em todo o território nacional, de uma forma simples e objetiva, aumentando a autoestima dos educandos. 

Valores: Ética, competência, valorização do ser humano, pontualidade, qualidade, aprendizagem, respeito, transparência e inclusão social. 


Contatos: 







Grandes Matemáticos - Al-Khowarizmi

- 21 de agosto de 2018 Sem comentários

O desenvolvimento da Matemática entre os povos antigos 


Antes de falar sobre o grande matemático Al-Khowarizmi, precisamos relembrar um pouco sobre a História da Matemática e todo o contexto da época em que ele viveu.

Grandes Matemáticos - Al-Khowarizmi


Em alguns artigos deste blog já abordamos sobre a História da Matemática, entre eles: 



Além desses artigos, temos diversos outros, entre eles uma série chamada “A Matemática no Continente Africano” e a série “Grandes Matemáticos”, no qual esse aqui sobre Al-Khowarizmi também faz parte. 

Quando falamos em História da Matemática, no princípio, abordamos desde o homem pré-histórico até a nossa primeira civilização, os egípcios. Após os egípcios, surgiram outras civilizações, que se desenvolveram às margens de grandes rios e dependiam essencialmente da agricultura. 

Para a organização das atividades agrícolas era necessário, antes de mais nada, dividir as terras e calcular a extensão que caberia a cada agricultor. A partir desses problemas, desenvolveram-se as primeiras noções de geometria e de medidas de áreas. Por outro lado, avaliar a quantidade de cereais produzidas, distribuir os grãos entre a população, comercializar os produtos agrícolas eram atividades que exigiam um sistema de numeração e técnicas de cálculo. Então, assim como os egípcios, as outras civilizações desenvolveram seus próprios símbolos (escrita, números e desenhos). É importante observar que estas civilizações não vieram umas depois das outras. Pelo contrário, muitas coexistiram durante séculos e, embora localizadas em regiões diferentes, mantiveram contato umas com as outras. Com exceção dos maias, que habitavam a América, as civilizações da Europa, Oriente e Oriente Médio trocavam mercadorias e conhecimentos. 


Segundo o site educar.sc.usp.br 

“O intercâmbio cultural envolveu também os conhecimentos matemáticos daqueles povos e se refletiu nas suas maneiras de contar e escrever os números. A história dos sistemas de numeração desenvolvidos por nossos antepassados muitas vezes se confunde com a própria história de seus criadores. As condições em que as civilizações do passado surgiram e evoluíram levaram ao desenvolvimento de conhecimentos práticos que constituíram o embrião de nossos amplos e diversificados conhecimentos atuais, em todas as áreas. Assim, a Matemática desenvolveu-se, inicialmente, a partir do modo de vida e das necessidades do dia-a-dia daqueles povos.” 


Veja abaixo as civilizações mais importantes, e o período de maior desenvolvimento: 


Egípcios: 4500 a.C. à 300 a.C. 

Mesopotâmicos: 3500 a.C. à 500 a.C. 

Chineses: 2200 a.C. até hoje. 

Hindus: 2000 a.C. à 700 d.C. 

Gregos: 1100 a.C. à 400 d.C. 

Romanos: 500 a.C. à 500 d.C. 

Maias: 300 d.C. à 1600 d.C. 


Neste artigo, destacaremos as civilizações Hindu e Árabe. 


Por conter imagens e fórmulas matemáticas, o artigo está anexo em PDF. A vantagem é que dá para você salvar e estudar em qualquer lugar. 


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Grandes Matemáticos: Augustin – Louis Cauchy

- 10 de agosto de 2018 Sem comentários
Matemático e engenheiro militar francês, nasceu em 21 de agosto de 1789 em Paris, França. Era o filho mais velho de seis irmãos (dois homens e quatro mulheres), tendo sido na sua infância educado pelo pai, amigo pessoal de Laplace e Legendre. 

Grandes Matemáticos: Augustin – Louis Cauchy
Passou sua infância no mais sangrento período da Revolução Francesa. As escolas foram fechadas. Para escapar do perigo seu pai mudou-se para o campo, na vila de Arcueil, onde sobreviviam das poucas frutas e vegetais que ele colhia. Cauchy cresceu, pois, enfraquecido. 

A educação e os livros de estudos foram assumidos por seu pai. Quando voltaram a Paris, Laplace, que se encontrava na vizinhança começou a visitar os Cauchy. Ficou impressionado pelo menino, sempre envolvido com seus livros e papéis. Apercebeu-se logo do seu talento para a matemática. Em 1 de janeiro de 1800 seu pai foi eleito Secretário do Senado, com escritório no Palácio Luxemburgo. Cauchy usava um canto do escritório do secretário para estudar. Lagrange aparecia freqüentemente para tratar de negócios e logo se interessou pelo rapaz. Surpreendeu-se com seu talento. 

Laplace e Lagrange eram visitas constantes em casa de Cauchy enquanto este era jovem, tendo sido mesmo Lagrange que aconselhou o pai de Cauchy a matricular o filho numa escola de línguas. Assim, em 1802 Cauchy ingressou na Ecole Centrale du Panthéon onde passou dois anos a estudar línguas clássicas. 

Em 1804 Cauchy tomou aulas de Matemática e fez o exame de admissão para a École Polytechnique em 1805. Ele foi examinado por Biot e ficou em segundo lugar. Lá teve aulas com Lacroix, de Prony e Hachette, sendo tutorado em Análise por Ampère. Em 1807 graduou-se e entrou na escola de engenharia École des Ponts et Chaussées. Ele era um estudante excepcional e por seu trabalho prático foi designado para trabalhar sob as vistas de Pierre Girard, no projeto do Canal Ourcq. 

Em 1810 Cauchy arrumou seu primeiro emprego em Cherbourg para trabalhar no porto para a frota de invasão Inglesa de Napoleão. Ele levou com ele uma cópia de Méchanique Céleste, de Laplace e de Thèorie des Fonctions, de Lagrange. Apesar da carga intensa de trabalho no porto, Cauchy dedicou-se intensamente à pesquisa matemática e ele provou em 1811 que os ângulos de um poliedro convexo são determinados por suas faces. Ele submeteu seu primeiro trabalho neste tópico e então, encorajado por Legendre e Malus, submeteu outro sobre polígonos e poliedros em 1812. Cauchy sentia que deveria retornar a Paris se quisesse deixar sua marca na pesquisa. Infelizmente Cauchy voltou pelos motivos errados: provavelmente uma severa depressão. 

De volta a Paris, Cauchy investigou funções simétricas e submeteu um artigo sobre este tópico em novembro de 1812, que foi publicado no Journal of the École Polytechnique em 1815. Contudo ele deveria voltar a Cherbourg em fevereiro de 1813, quando tivesse recobrado sua saúde, mas isto não se encaixava com suas ambições matemáticas. Seu pedido a de Prony para ser um professor associado na École des Ponts et Chaussées foi recusado, mas foi-lhe permitido continuar como engenheiro no projeto do Canal Ourcq, ao invés de voltar a Cherbourg. O que realmente Cauchy desejava era uma carreira acadêmica e então se inscreveu para um posto no Bureau des Longitudes. Legendre ficou com a vaga. Também falhou ao se inscrever para a seção de geometria do Institute, indo a vaga para Poinsot. 

Outros postos ficaram vagos, mas um em 1814 foi a Ampère e uma vaga em Mecânica no Institute, que era de Napoleão Bonaparte, foi para Molard. Na última eleição Cauchy não recebeu um único voto. Contudo sua produção matemática continuava grande e em 1814 ele publicou um trabalho sobre integrais definidas que posteriormente viria a se tornar a base da teoria de funções complexas. 

Em 1815 Cauchy perdeu para Binet um cadeira em Mecânica na École Polytechnique, mas foi apontado como professor assistente de Análise. Ele era responsável pelo segundo ano de curso. Em 1816 ele ganho o Grand Prix of the French Academy of Science por um trabalho em ondas. Ele atingiu realmente a fama, porém, quanto submeteu um trabalho ao Institute resolvendo uma das afirmações de Fermat acerca de números poligonais feita a Mersenne. Ainda em 1816 tornou-se professor da Escola Politécnica de Paris com a idade de 27 anos, onde foi eleito membro da Academia de Ciências em Paris; o fato ser selecionado para a Academia era um das honras mais altas que poderiam ser dadas a um cientista. Infelizmente, a aceitação por parte desta posição estava cheia de controvérsia. Na ocasião, Napoleão há pouco tinha sido subvertido e os Bourbons tinham sido devolvidos ao trono. O novo rei continuou imediatamente a remover os partidários do imperador anterior inclusive Gaspar Monge, um membro da Academia. Apesar das visões políticas, Monge era um dos maiores matemáticos na França e sua remoção foi considerado uma afronta. Porém, quando a Cauchy foi oferecido a cadeira de Monge, concordou sem reserva. Sendo fortemente realista, Cauchy não viu nada errado com a remoção de um inimigo do rei e viu isto como o dever para a monarquia levar a posição. Esta ação não pressagiou bem com muitos dos compatriotas e ganhou muitos inimigos. Não obstante, o matemático continuou o trabalho e de alguma maneira achou tempo para se casar dois anos depois. 


Segundo o site dec.ufcg.edu.br/biografias/AugustiL.html 

“Católico fervoroso, com a deposição do rei Carlos X (1830), que lhe havia dado o título de barão, recusou-se a prestar juramento de fidelidade ao novo regime e exilou-se voluntariamente em Turim, na Itália. Com sua presença, a universidade local readquiriu o prestígio de que gozava ao tempo de Lagrange. Suas convicções políticas e sua fidelidade à dinastia dos Bourbons fizeram-no abandonar Turim (1833) para cuidar da educação do duque de Bordeaux, filho de Carlos X e herdeiro presuntivo do trono da França. Partiu então para Praga, onde o rei se exilara, e lá ficou por cinco anos. No exílio, de Turim a Praga não parou de escrever e publicar livros, sendo neste ofício superado apenas por Euler. De volta a Paris, passou a dedicar-se apenas à ciência. A república aboliu a obrigatoriedade do juramento de fidelidade ao regime (1848), restabelecida quatro anos mais tarde por Napoleão III. Este, porém, dispensou do juramento dois dos seus mais conhecidos homens de ciência: Cauchy e Arago. Assumiu, então, a cadeira de matemática da Faculté des Sciences, que ocupou pelo resto de seus dias.” 


Segundo o livro História da Matemática, Howard Eves: 

“Cauchy morreu subitamente em 23 de maio de 1857 aos sessenta e oito anos de idade. Tinha ido para o campo descansar e curar-se de problemas nos brônquios e foi surpreendido por uma febre fatal. Pouco tempo antes conversava com o Arcebispo de Paris. Suas últimas palavras dirigidas ao Arcebispo, foram: “Os homens passam, mas suas realizações perduram.” 


Obras e contribuições 


Cauchy escreveu extensiva e profundamente tanto sobre matemática pura como sobre matemática aplicada, e provavelmente se ombreia com Euler em volume de produção. Suas obras reunidas contêm, além de vários livros, 789 artigos, alguns dos quais são trabalhos longos, preenchendo trinta e quatro alentados volumes. A qualidade desse trabalho é irregular; por isso Cauchy (muito ao contrário de Gauss) tem sido criticado por sua produção excessiva e por sua redação apressada. Conta-se uma história a propósito da prodigiosa produtividade de Cauchy. Em 1835 a Academia de Ciências começou a publicar seus Comptes Rendus. Tão rapidamente Cauchy abastecia esse jornal de artigos que a Academia ficou alarmada com as crescentes despesas de impressão e instituiu uma norma, hoje ainda em vigor, limitando a no máximo quatro páginas os artigos publicados. Cauchy teve de procurar outros escoadouros para seus longos artigos, alguns excedendo cem páginas. 


Algumas publicações de Cauchy: 

Elaborou a teoria das funções de variáveis complexas (1811) e divulgou um importante artigo sobre determinantes, com oitenta e quatro páginas (1812). Publicou um trabalho sobre integrais definidas (1814), que serviria de base para o desenvolvimento da teoria das funções complexas e, no ano seguinte, estudou os grupos de permutação e criou a moderna teoria dos grupos. No clássico da hidrodinâmica, Mémoire sur la théorie des ondes (1816), que deu origem ao número de Mach, ganhando o prêmio do Instituto de França. Publicou Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821), seu primeiro grande tratado matemático. Lançou as bases da teoria matemática da elasticidade (1822) e publicou Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823). Publicou Exercices de Mathématiques (1828) incluindo exercícios sobre à equação de Navier de atração e repulsão molecular. Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826-1828) e Le Calcul infinitésimal (1832), são seus outros renomados tratados. 


O aluno de cálculo encontra seu nome no teste da raiz de Cauchy e no teste da razão de Cauchy pra verificação da convergência ou divergência de uma série de termos positivos e no produto de Cauchy de duas séries dadas. Mesmo num primeiro curso de teoria das funções complexas, encontram-se a desigualdade de Cauchy, a fórmula integral de Cauchy, o teorema integral de Cauchy e as básicas equações diferenciais de Cauchy-Riemann. 

Deve-se a Cauchy grande parte da abordagem do cálculo apresentado nos atuais textos universitários, como os conceitos básicos de limite e continuidade. Cauchy definiu a derivada de y = f(x) em relação a x como o limite, quando ∆x → 0, da razão 

∆y/∆x = f(x + ∆x) – f(x) / ∆x 

Embora tivesse ciência da facilidade operacional das diferenciais, Cauchy relegou-as a segundo plano. Se dx é uma quantidade finita, ele definiu dy, de y = f(x), simplesmente como f’(x) dx. Embora durante o século XVIII a integração fosse geralmente focalizada como a inversa da diferenciação, Cauchy preferiu definir a integral definida como o limite da soma de um conjunto infinitamente crescente de partes pequenas tendendo a zero, de modo muito parecido como o que fazemos hoje. A relação entre uma integral e uma antiderivada se estabelecia então através do teorema do valor médio. 

As contribuições de Cauchy à teoria dos determinantes, começando em 1812 com uma extensa memória de oitenta e quatro páginas, colocam-no como o matemático que mais contribuiu para o assunto. Foi num artigo de Cauchy em 1812 que apareceu a primeira demonstração do importante e útil teorema que garante que se A e B são matrizes n x n, então |AB| = |A| |B|. Incidentalmente foi Cauchy quem , em 1840, introduziu a palavra “característica”, na teoria das matrizes, chamando a equação |A – λI| = 0 de equação característica da matriz A. 

Durante o século dezoito a integração tinha sido tratada como a inversa da derivação. A definição de Cauchy de derivada torna claro que a derivada não existirá num ponto em que a função seja descontínua; mas a integral pode não ter dificuldades. É do conceito de Cauchy de integral como limite da soma em vez da antiderivação que provieram as muitas frutíferas generalizações da integral. 

O nome de Cauchy aparece hoje ligado a muitos teoremas, sobre séries infinitas pois, apesar de esforços da parte de Gauss e Abel, foi em grande parte através de Cauchy que a consciência matemática foi despertada no que se refere à necessidade de vigilância quanto à convergência. Tendo definido que uma série é convergente se, para valores crescentes de n a soma Sn dos n primeiros termos tende a um limite S, a soma da série, Cauchy provou que uma condição necessária e suficiente para que uma série infinita convirja é que, para um dado valor de p, o tamanho da diferença entre Sn e Sn+p tenda a zero quando n cresce indefinidamente. 

Cauchy anunciou também, em 1831, o teorema que diz que uma função analítica de variável complexa w = f(z) pode ser expandida em série de potências centrada num ponto z=z0 a qual converge para todos os valores dentro de um círculo de centro z e passando pelo ponto singular de f(z) mais próximo de z0. 

O prolífico Cauchy contribuiu em quase tantos campos quanto seu contemporâneo Gauss. Também ele contribuiu à mecânica e teoria dos erros. Embora na teoria dos números seu trabalho seja menos conhecido que o de Legendre e Gauss, é a Cauchy que devemos a primeira demonstração geral de um dos mais belos e difíceis teoremas de Fermat – que todo inteiro positivo é a soma de no máximo três números triangulares ou quatro números quadráticos ou cinco pentagonais ou seis hexagonais, e assim por diante indefinidamente. Esta prova é um clímax adequado ao estudo de números figurados iniciado pelos pitagóricos cerca de 2.300 anos antes.