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Grandes Matemáticos: Pierre-Simon Laplace

- 17 de fevereiro de 2018 Sem comentários
Matemático e Físico francês, nasceu em 28 de março de 1749, em Beaumont-em-cume, Normandia, França. De origem humilde – seus pais eram agricultores pobres – Laplace foi contemporâneo de Lagrange.

Grandes Matemáticos: Pierre-Simon Laplace


O seu pai teve uma fazenda pequena e ele não pôde dar muita educação ao filho. Porém, quando Laplace revelou ter um talento extraordinário, principalmente para a Matemática, alguns de seus parentes e vizinhos satisfeitos sustentaram os seus estudos na Universidade de Caen. Deste modo apenas algum ano depois de sua graduação nesta Universidade, obteve a posição de professor na Escola Militar da pequena população de Beaumont.

Segundo o site ariadne.if.uff.br/~didatico/page78.html

“Para a idade de dezoito anos, Laplace era distinto como professor e matemático na escola militar da pequena população de Beaumont. Mas, para ele, Paris era a única cidade para a qual entraria no grande mundo da ciência. Adquiriu cartas de recomendação e, em 1767, partiu para Paris para pedir a ajuda do distinto matemático francês d'Alembert. Quando foi apresentado na casa deste, foi recebido com desculpas cortês, mas ele disse adeus a este sem entrevistar o matemático. As semanas passaram e continuou sem obter uma audiência.”


Segundo o livro História da Matemática, Howard Eves:

“Como esse expediente não surtisse nenhum efeito, ele próprio escreveu uma carta a d’Alembert, onde expôs brilhantemente os princípios gerais da mecânica. Foi o quanto bastou e d’Alembert lhe respondeu: “Senhor, como percebeu, quase não dei atenção às suas cartas de recomendação. Elas, porém, não eram necessárias; o senhor soube se apresentar muito melhor. ”

Com ajuda de d'Alambert, obteve mais tarde a nomeação para ser professor de Matemática na École Polytechnique (Escola Militar de Paris), e estava assegurado a sua entrada no mundo da ciência. 

O primeiro trabalho científico de Laplace foi a sua aplicação da Matemática para as mecânicas celestiais. Para Newton e outros astrônomos era impossível explicar as divergências dos planetas das suas órbitas, preditas matematicamente. Deste modo, por exemplo, foi determinado que Júpiter e Saturno às vezes se adiantavam, e outros eles estavam atrasados com respeito às posições que deveriam ocupar nas suas órbitas. Laplace inventou uma teoria, que confirmou com testes matemáticos, que as variações eram normais e elas eram corrigidas somente no curso de fases longas de tempo. Foi considerado que sua teoria é tinham grande importância para se entender às relações dos corpos celestiais no Universo, e apoiou o teste do tempo sem sofrer mais que correções relativamente secundárias. 

Os anos seguintes foram de investigações frutíferas para Laplace que estava clarificando o conhecimento científico sobre as forças elementares da Natureza e do Universo. Escreveu artigos sobre a força da gravidade, o movimento dos projéteis e o fluxo e refluxo das marés, a precisão dos equinócios, a forma e rotação dos anéis de Saturno e outros fenômenos.

Estudou o equilíbrio de uma massa líquida em rotação; também inventou uma teoria sobre a tensão superficial que era semelhante ao conceito moderno da atração ou coesão molecular dentro de um líquido. Trabalhando com Lavoisier, estudou o calor específico e a combustão de diversas substâncias, e iniciou os fundamentos da ciência moderna da termodinâmica. Inventou um instrumento, conhecido com o nome de calorímetro de gelo, para medir o calor específico de uma substância. O calorímetro media a quantidade de gelo fundida pelo determinado peso de uma substância quente cuja temperatura era conhecida. Então, poderia ser calculado o seu calor específico matematicamente.

Quando estudou a atração gravitacional de um esferóide sobre um objeto externo, inventou o que é conhecido hoje como equação de Laplace que é usada para calcular o potencial de uma magnitude física em um determinado momento enquanto está em movimento contínuo. Esta equação não só tem aplicação na gravitação, mas também na eletricidade, na hidrodinâmica e em outros aspectos das físicas. 

Laplace foi o mais influente dentre os cientistas franceses em toda a história. Sua reputação o tornou célebre e imortal, ficando conhecido como o “Newton francês”. Sua carreira foi importante por suas contribuições técnicas para as ciências exatas, para o ponto de vista filosófico que ele desenvolveu durante sua vida e pela parcela que tomou parte na formação das modernas disciplinas científicas. 

Laplace era um escritor prolífero e após sua eleição para a Academia de Ciências, em 1773, o secretário escreveu que a Academia nunca havia recebido tantos trabalhos importantes de pesquisa de uma pessoa tão jovem em tão pouco tempo.

Laplace tinha pouco interesse na Matemática pura - ele considerava a Matemática meramente como uma ferramenta para resolver problemas aplicados. Na sua impaciência com o detalhe matemático, frequentemente omitia raciocínios complicados com a frase "É fácil mostrar que...". Ele admitiu, no entanto, que, com o passar do tempo, frequentemente ele mesmo tinha dificuldade para reconstruir os detalhes omitidos! Com o peso de sua fama, Laplace serviu em muitos comitês do governo, ocupou os postos de Ministro do Interior e chanceler do Senado. Por pouco, conseguiu escapar da prisão e da execução durante o período da revolução, provavelmente por causa de sua habilidade em convencer cada partido oponente que ele os apoiava. Napoleão o descreveu como um grande matemático, mas um administrador medíocre que "procurava sutilezas em tudo, tinha somente ideias ambíguas e carregou o espírito do infinitamente pequeno para dentro da administração". Apesar de ser um gênio, Laplace era egoísta e inseguro, tentando garantir seu lugar na história convenientemente deixando de dar crédito aos matemáticos cujo trabalho ele usava - uma mesquinhez desnecessária, uma vez que seu próprio trabalho era tão brilhante. Porém, no lado positivo, apoiava os matemáticos jovens, geralmente tratando-os como seus próprios filhos. Laplace é classificado como um dos matemáticos mais influentes da história. Ainda em vida, foi escolhido para se tornar um dos quarenta Imortais da Academia Francesa.

Laplace morreu em 05 de março de 1827 em Paris, França, poucos dias antes de completar 78 anos, exatamente um século depois do falecimento de Isaac Newton. Segundo um relato, suas últimas palavras foram: 

“O que sabemos é insignificante; o que não sabemos é imenso”. 


Obras e contribuições


A vida de Laplace como cientista pode ser dividida em quatro períodos, todos eles apresentando novas descobertas e evoluções. 

No primeiro período (1768-1778), Laplace desenvolveu a solução de problemas de cálculo integral, matemática astronômica, cosmologia e teoria de chances de jogos. Durante este período formativo, ele estabeleceu seu estilo, reputação, posição filosófica, certas técnicas matemáticas e um programa de pesquisa em duas áreas: probabilidade e mecânica celestial, nas quais, a partir de então, trabalhou para o resto de sua vida. 

No segundo período (1778-1789), ele iniciou a pesquisa na sua terceira área de maior interesse: a física. Sua colaboração foi, juntamente com Lavoisier, relativa à teoria do calor. Obras: Mémoire sur la chaleur (1783), resultado de sua colaboração com Lavoisier. Théorie du mouvement et de la figure elliptique dês planètes (1784).

O terceiro e revolucionário período (1789-1805), centralizou-se na preparação do Sistema Métrico. Mais importante, na década de 1795 a 1805, sua influência foi fundamental para as ciências exatas no mais novo instituto fundado da França: a Escola Politécnica foi o local onde a primeira geração de físicos matemáticos foi treinada. Obra: “L’Exposition du Système du Monde”.

O trabalho do quarto período (1805-1827) exibe elementos de culminação e declínio. Laplace, em companhia de Berthollet, fundou uma escola, circundando ele mesmo com disciplinas na informal Société d'Arcueil (1807), um ambicioso programa de pesquisas: aplicar a visão newtoniana do mundo à física molecular, aplicando matematicamente as leis de Newton aos fenômenos da luz, calor, som, eletricidade e magnetismo. A sociedade começou com nove membros, entre os quais se encontram os nomes de Biot, Poisson, Arago e Malus e teve no máximo 13 membros. Havia reuniões nos segundos domingos de cada mês na casa de Berthollet em Arcueil. Dispunham de um laboratório, uma biblioteca e de um gabinete de trabalho. Desde 1807 foram publicados 3 volumes de memórias, as “Mémoires de la Societé Chimique d’Arcueil.” A sociedade durou 10 anos e terminou com a morte de Berthollet em 1822.

No começo de 1810, Laplace voltou novamente sua atenção para a probabilidade, tomando como tópico fundamental a teoria dos erros. Também foi abordado o problema dos quadrados mínimos. É neste período que Laplace desenvolve um método de solução integral para equações diferenciais: a Transformada de Laplace, cuja teoria, aliás, o consagrou na área de cálculo devido à praticidade oferecida na resolução de equações diferenciais. 


Mecânica Celeste


Na obra de Laplace é feita aplicação considerável de análise avançada. É típico seu estudo das condições de equilíbrio de uma massa fluida em rotação, assunto que ele considerou em conexão com a hipótese da origem do sistema solar. A hipótese fora apresentada em forma popular em 1796 em Exposition du système du monde livro que está para a Mécanique celeste (1799 – 1825, 5 vols.) na mesma relação que Essai philosophique dês probabilités está para Théorie analytique. De acordo com a teoria de Laplace o sistema se originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo. Ao esfriar, o gás se contraiu, causando rotação cada vez mais rápida, de acordo com a conservação do momento angular, até que anéis sucessivos se desprendam da camada externa condensando-se e formando planetas. O Sol em rotação constitui o cerne restante da nébula. A ideia atrás dessa hipótese não era inteiramente original de Laplace, pois fora proposta em forma qualitativa e esquemática por Thomas Wright e Immanuel Kant, mas o revestimento quantitativo faz parte da Mécanique celeste.

A publicação desta obra é considerada comumente como marcando a culminação do ponto de vista newtoniano sobre a gravitação. Explicando todas as perturbações do sistema solar, Laplace mostrou que os movimentos são seculares, de modo que o sistema pode ser considerado estável. Não parecia mais ser necessário admitir ocasional intervenção divina. Diz-se que Napoleão comentou com Laplace o fato de estão não mencionar Deus em sua obra monumental, ao que se conta que a resposta de Laplace foi: “Não preciso dessa hipótese”. Quando contaram isso a Lagrange, este teria dito: “Ah, mas é uma bela hipótese”.

Laplace completou não só a parte gravitacional dos Principia de Newton, mas também alguns pontos de física. Newton tinha computado a velocidade do som em bases puramente teóricas, mas viu que isso lhe dava um valor demasiadamente pequeno. Laplace foi o primeiro a observar, em 1816, que a discrepância entre o valor calculado e o observado se devia a que os cálculos em Principia eram baseados na hipótese de compressões e expansões isotérmicas, ao passo que na realidade as oscilações para o som são tão rápidas que as compressões são adiabáticas, aumentando, assim a elasticidade do ar e a velocidade do som.


Teoria das Probabilidades


A teoria das probabilidades deve mais a Laplace que a qualquer outro matemático. A partir de 1774 ele escreveu muitos artigos sobre o assunto, cujos resultados ele incorporou no clássico Théorie analytique dês probabilités de 1812. Ele considerou a teoria em todos os aspectos e em todos os níveis, e seu Essai philosophique dês probabilités de 1814 é uma exposição introdutória para o leitor comum. Laplace escreveu que “no fundo a teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números”; mas sua Théorie analytique mostra a mão de um mestre da análise que conhece seu cálculo avançado. Está cheio de integrais envolvendo funções beta e gama; e Laplace foi um dos primeiros a mostrar que ∫∞-∞ e-x2 dx, a área sob a curva de probabilidade, é √π. O método pelo qual obteve resultado era um tanto artificial, mas não está longe do artifício hoje usado de transformar. 

∫∞0 e-x2 dx. ∫∞0 e-y2 dy = ∫∞0 ∫∞0 e-(x2+y2) dx dy

Para coordenadas polares como 

∫π/2∫∞0 re-r2 dr dσ

Que se calcula facilmente e leva a 

∫∞0 e-x2 dx = √π/2

Entre muitas coisas a que Laplace chamou a atenção em sua Théorie analytique está o cálculo de p através do problema da agulha de Buffon que tinha sido praticamente esquecido por trinta e cinco anos. Esse é conhecido às vezes como problema da agulha de Buffon-Laplace, pois Laplace estendeu o problema original a um reticulado de duas coleções perpendiculares entre si de retas paralelas eqüidistantes. Se as distâncias são a e b, a probabilidade de que a agulha de comprimento l (menor que a e b) caia sobre umas das retas é

p = 2l (a-b) – l2 / πab


Equação Diferencial de Laplace


Sua importância central está na matemática pura e na física matemática. Uma função u(x,y) que possui primeira e segunda derivadas parciais contínuas e que satisfazem a equação de Laplace num ponto da vizinhança é chamada harmônica naquele ponto. 

Esta equação é utilizada para definir o fluxo de eletricidade e o fluxo de qualquer fluido incompressível. 


Estudos sobre a Teoria do Calor


O assunto enfocado por Laplace, juntamente com Lavoisier, nesta área refere-se à ideia de medir a quantidade de calor durante o processo de fusão de uma certa quantidade de gelo. Tal estudo é dividido em quatro partes: a primeira discute a natureza do calor e a sua quantificação; a segunda, a determinação dos calores específicos de substâncias selecionadas e de alguns calores de reação; a terceira consequências teóricas e um programa para químico-física; e a quarta, a aplicação das técnicas no estudo da combustão e da respiração. 


A velocidade do som


Em 1802, Laplace fez uma de suas mais duradouras contribuições para a ciência, num artigo que foi escrito por seu jovem pupilo Biot: " Sur la théorie du som" no Jornal de fuxique. Usando um conhecimento de fenômenos adiabáticos, os quais tinham se tornado disponíveis na França recentemente, Laplace sugeriu a Biot, como a notória discrepância de aproximadamente 10 por cento entre o valor experimental para a velocidade do som no ar e o valor calculado usando a expressão de Newton, v=(P/p)1/2 , poderia ser removida. De acordo com Laplace, a discrepância surgiu da negligência por parte de Newton das mudanças na temperatura que ocorriam nas regiões de compressão e rarefação que compunham a onda sonora. 


A Transformada de Laplace 


Esta era uma transformada integral extensivamente usada por Laplace na teoria da probabilidade. 

A Transformada de Laplace é usada para a solução de equações diferenciais, para o cálculo de integrais definidas e em muitos ramos da matemática abstrata (análise funcional, cálculo operacional e teoria analítica numérica). 


O Laplaciano 


O operador Laplaciano é envolvido em algumas das mais fundamentais equações da física matemática, a saber, equação de Laplace, equação de Poisson, várias equações de onda (como as de eletricidade e magnetismo, som, vibrações, a equação de Schrödinger da mecânica quântica), as equações de fluxo de calor e de difusão. 


Demônio de Laplace


Demônio de Laplace é um experimento mental concebido pelo físico Pierre-Simon Laplace: de posse de todas as variáveis que determinam o estado do universo em um instante t, ele pode prever o seu estado no instante t' > t.

Tal conceito é sustentado, conforme aponta o filósofo Lyotard em seu clássico "A Condição pós-moderna", "pelo princípio de que os sistemas físicos, inclusive o sistema dos sistemas que é o universo, obedece a regularidades, que por conseguinte sua evolução delineia uma trajetória previsível e dá lugar a funções contínuas 'normais' (e à futurologia...)".



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Grande abraço e bons estudos!!!


Exercícios de Geometria Plana e Espacial para concursos públicos

- 8 de fevereiro de 2018 Sem comentários
Em mais uma lista gratuita de exercícios para os amigos concurseiros, vamos agora estudar alguns exercícios de Geometria Plana e Espacial para concursos públicos. Essa lista faz parte de diversos exercícios que enviei e foram publicados nas edições impressas e digital do Jornal Folha Dirigida, além de fazerem parte de provas corrigidas em nosso blog. 
Exercícios de Geometria Plana e Espacial para concursos públicos


Essa lista, com 07 exercícios resolvidos, aborda os assuntos de Perímetro, Área, Capacidade, Volume, Ângulos e Teorema de Pitágoras. 

Aqui em nosso blog temos outra lista de exercícios de Geometria para concursos públicos, confira!

Os exercícios estão em arquivo PDF, para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar! 

Os 07 exercícios dessa lista também se encontram em nossa apostila digital, um conjunto de 21 provas e 213 exercícios de concursos públicos, somente de Matemática.

Essa apostila digital pode ser adquirida diretamente comigo no e-mail: contato@matematicaefacil.com.br ou pelo Facebook no valor de R$ 7,00 via depósito bancário.

Segue abaixo os dados das provas que compõem nossa apostila:

Provas resolvidas de Matemática de Concursos Públicos em arquivo PDF, com 21 provas e 213 exercícios.

AS PROVAS SERÃO ENVIADAS SOMENTE POR E-MAIL, EM 21 ARQUIVOS, REFERENTES A CADA PROVA. 

CADA PROVA CONSTA SOMENTE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA!

No início de cada arquivo, há uma breve descrição do meu trabalho. 

Os materiais a serem enviados são provas de concursos públicos, conforme segue abaixo: 

TJ – SP 2017 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

TJ – SP 2015 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

TJ – SP 2014 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

TJ – SP 2013 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

TJ – SP 2012 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

TJ – SP 2011 – Interior – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

TJ – SP 2011 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP 

TJ – SP 2009 – Oficial de Justiça – VUNESP

TJ – SP 2007 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP 

MP – SP 2016 – Oficial de Promotoria I – VUNESP 

MP – SP 2014 – Oficial de Promotoria I – VUNESP 

UNIFESP 2016 – Assistente em Administração – VUNESP 

UNIFESP 2016 – Técnico em Assuntos Educacionais – VUNESP 

AMLURB 2016 – Agente de Gestão de Políticas Públicas – VUNESP 

AMLURB 2016 – Analista de Assistência e Desenvolvimento Social – VUNESP 

PM – SP 2014 – Oficial Administrativo – VUNESP 

CPTM – 2014 – Agente de Relacionamento – CAIPIMES

SAP – SP 2013 – Agente de Segurança Penitenciária de Classe I – VUNESP

SAP – SP 2012 – Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária – VUNESP

CORREIOS 2011 – Agente dos Correios / Atendente Comercial – CESPE

MMC e MDC para concursos públicos – Diversos concursos (TJM – SP, Prefeitura de Guarulhos – SP, UNESP, SAEE – SP, Prefeitura de SP, entre outros). SP, entre outros).


Prepare-se já!


Caso precisarem, trabalho com aulas particulares de Matemática, presenciais em SP (domicílio ou bibliotecas) e via Skype (incluindo nossa apostila digital) para todo o Brasil. Em caso de dúvidas, entre em contato no e-mail: contato@matematicaefacil.com.br ou nas redes sociais: Facebook, YouTube, e Instagram

Trabalho com apostilas de concursos públicos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar. 


Conheça também meu Portfólio no link que também está neste blog. 


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Promoção! Aulas de Matemática via Skype com apostila digital para o concurso do TJ – SP

- 22 de janeiro de 2018 Sem comentários
Procurando atender as necessidades dos concurseiros que estão estudando para o concurso público do TJ – SP, e devido a procura por aulas online, então vamos a uma promoção! Aulas de Matemática via Skype com apostila digital para o concurso do TJ – SP. 

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As aulas via Skype seguem o mesmo formato da aula particular presencial, ou seja, atenção especial ao aluno. Pelo fato de conversar somente com o professor, o concurseiro tem foco total em seus estudos. Outra vantagem, é que o estudante não precisa sair de casa, ganhando um bom tempo de seu dia por não se deslocar a algum local. 

No momento da aula, além de conversarmos, compartilho a tela do meu computador, no qual resolvo os exercícios pelo Word, e assim o aluno vê a resolução e sana todas as suas dúvidas. Assim como o aluno pode resolver no mesmo formato e também compartilhar a sua tela comigo, também sanando as dúvidas. Diferente das vídeoaulas, na aula via Skype você conversa com o professor e resolve as dúvidas na hora!

Para auxiliar nos estudos para o TJ – SP, vamos a promoção da aula via Skype com a apostila digital de Matemática: 

  • 01 hora / aula = R$ 30,00 + as 09 últimas provas de Matemática resolvidas do TJ – SP, todas em arquivo PDF. 

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Sobre a apostila digital, muitas pessoas estão adquirindo as 21 provas de Matemática resolvidas de concursos públicos e estão estudando para o concurso público do TJ – SP. Você também pode adquirir somente as provas no valor de R$ 7,00, no qual envio por e-mail. 

Aos concurseiros que já adquiriram a apostila, terão desconto proporcional referente as 09 provas do TJ – SP ou desconto no valor total da apostila referente as 21 provas resolvidas de Matemática. 


Apresentação 


Meu nome é Jefferson Santos, sou professor de Matemática da rede municipal de ensino em SP. Sou formado com Licenciaturas em Matemática e Pedagogia, e com Pós-Graduações em Finanças e Educação a Distância, além de diversos cursos em editoras, institutos, diretorias de ensino e no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME / USP). Periodicamente, escrevo para o Jornal Folha Dirigida, enviando dicas de como estudar para concursos públicos e exercícios resolvidos de Matemática para concursos públicos, assim como apostilas digitais ao site do jornal. 

Trabalho com aulas particulares de Matemática para Ensinos Fundamental e Médio, também com aulas preparatórias para Concursos Públicos, ETEC, SENAI, ENEM, vestibulares e outros processos seletivos. As aulas são feitas em domicílio ou bibliotecas em SP, e via Skype para todo o Brasil. 

Nas aulas, utilizo livros didáticos, material do aluno, apostila de concursos públicos e diversas provas de concursos anteriores, que são impressas, resolvidas e comentadas por mim. Também imprimo e resolvo provas de concursos específicos que o aluno precisar, facilitando a compreensão e identificação de qual conteúdo da Matemática a ser utilizado nas questões. 


Missão: Facilitar o aprendizado da Matemática, com conceitos básicos e objetivos, auxiliando na compreensão, autonomia, desenvolvimento e aprendizagem das pessoas. 

Visão: Ser referência no ensino da Matemática em todo o território nacional, de uma forma simples e objetiva, aumentando a autoestima dos educandos. 

Valores: Ética, competência, valorização do ser humano, pontualidade, qualidade, aprendizagem, respeito, transparência e inclusão social. 


Contato: 




Estude para concursos públicos com provas resolvidas de Matemática!

- 3 de janeiro de 2018 Sem comentários
Resultado de meu trabalho com aulas particulares de Matemática, no qual atualmente estou com mais de 50 provas impressas e resolvidas por mim, digitalizei essas provas com suas respectivas resoluções. Algumas delas estão disponíveis gratuitamente em nosso blog, assim como foram disponibilizadas nas edições impressas e digitais do Jornal Folha Dirigida, especializado em concursos públicos. Estude para concursos públicos com provas resolvidas de Matemática! 

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Com um acervo bem maior, atualmente com 21 provas e 213 exercícios, essas provas estão digitadas em arquivo PDF e cada arquivo contém uma prova, no total de 21 arquivos. 


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Essas provas podem ser adquiridas diretamente comigo no e-mail: jefferson.matematica@hotmail.com ou pelo Facebook no valor de R$ 7,00 via depósito bancário. 

Lembrando que as provas resolvidas são somente de Matemática e são enviadas somente por e-mail.

Segue abaixo os dados das provas:


Provas resolvidas de Matemática de Concursos Públicos em arquivo PDF, com 21 provas e 213 exercícios.



AS PROVAS SERÃO ENVIADAS SOMENTE POR E-MAIL, EM 21 ARQUIVOS, REFERENTES A CADA PROVA. 

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Os materiais a serem enviados são provas de concursos públicos, conforme segue abaixo: 

TJ – SP 2017 – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP

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