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Exercícios básicos de Geometria

- 20 de agosto de 2016 Sem comentários
Em mais uma atividade da escola em que trabalho, visando conhecer a capacidade leitora e escritora dos alunos, segue uma lista de exercícios básicos de Geometria. 

Exercícios básicos de Geometria


São questões alternativas, sobre a teoria dos conceitos mais básicos para o conhecimento da Geometria, como ponto, reta, plano, ângulos, tipos de triângulos e quadriláteros. 

A atividade está em arquivo PDF, para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar. Você também pode aplicar esses exercícios com seus alunos e familiares. 

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Existe Matemática na Capoeira?

- 13 de agosto de 2016 Sem comentários
Pesquisando ainda sobre a Matemática no Continente Africano, encontrei um tema de origem africana e que faz parte da cultura brasileira: A Capoeira. E como dizemos que a Matemática está em todos os lugares, existe Matemática na Capoeira?

Existe Matemática na Capoeira?


Lembrando aos amigos, que, apesar das origens, a capoeira não surgiu no continente africano. É uma luta brasileira, na qual foi inventada por escravos no século XVII. A capoeira é uma luta que se diferencia das demais artes marciais pela musicalidade. Os integrantes, além de lutar e jogar, também cantam e tocam instrumentos típicos. Podemos dizer que a capoeira é uma expressão cultural brasileira que mistura arte marcial, esporte, música e cultura popular. Seus golpes são caracterizados por movimentos ágeis com chutes, rasteiras, cabeçadas, joelhadas e cotoveladas, com acrobacias em solo ou aéreas.

Existe Matemática na Capoeira?


Na época da escravidão no Brasil, os escravos sofriam práticas violentas em forma de castigo pelos senhores de engenho. Alguns grupos de escravos começaram a fugir, estabelecendo assentamentos em algumas áreas, chamadas de quilombos. Para se defender dos ataques, e como as lutas eram proibidas, começaram a mesclar os golpes com os movimentos das danças africanas, fazendo assim uma arte marcial disfarçada de dança. Muitas vezes, as lutas eram feitas em campos com pequenos arbustos, que na época eram chamados de capoeira ou capoeirão, originando o nome dessa arte marcial. Mesmo juntando dança e luta, a capoeira ficou proibida no Brasil, pois era vista como uma prática subversiva e violenta. Havia muita repressão aos praticantes dessa arte. Em 1930, Getúlio Vargas, após apresentação do mestre Bimba (um dos ícones da capoeira no Brasil), gostou, permitiu sua prática e a transformou em esporte nacional brasileiro. Em 2014, a UNESCO (Organização das Nações Unidas para Educação, Ciência e Cultura), declarou a roda de capoeira como patrimônio imaterial da humanidade, reconhecendo a capoeira como luta e resistência dos negros brasileiros contra a escravidão durante os períodos colonial e imperial no Brasil. No dia 03 de agosto, é comemorado o Dia do Capoeirista. Lembrando que o ritmo da capoeira, introduzido pelos escravos brasileiros, tem origem de uma cultura angolana, conhecida aqui como Capoeira de Angola. 

Afinal, existe Matemática na Capoeira?


Como foi dito no começo deste artigo, encontramos Matemática em todos os lugares. Sabemos que a Matemática está nas construções, nos objetos, roupas, calçados, em toda a ciência e tecnologia, nas artes, na música, assim também em ações que juntam espaço e tempo, como nas danças e lutas. Então, se a capoeira mescla a dança e a luta, podemos afirmar que existe Matemática na capoeira.

Existe Matemática na Capoeira?


Na capoeira, observamos a ação dos corpos em uma projeção constante, com um espaço tridimensional, desenhando figuras geométricas que se transformam numa sequência rápida à medida que os braços e pernas dos combatentes constroem não somente numa Geometria Plana, mas também uma Geometria Espacial, para assim tentar confundir o adversário com a ocupação de todos os espaços, buscando um ponto frágil para poder aplicar um golpe certeiro e desequilibrador. Como não podia ser reconhecida pelos senhores de engenho como um instrumento de resistência, e por isso foi disfarçada de dança, a capoeira ganhou uma cadência chamada ginga, que são movimentos de pernas que formam um triângulo imaginário no chão, criando várias possibilidades para cada uma das duas posições base (direita e esquerda), de onde todos os golpes são planejados e executados, que, ao som do berimbau, o corpo se enreda num tempo e espaço que vibra e canta no corpo. 

Na música cantada na abertura e encerramento da roda; nas palmas; nos toques de berimbaus, pandeiros e agogôs; a Matemática também está inserida, fazendo as marcações dos ritmos que serão propostos em todo o contexto da capoeira. 

Um cilindro imaginário envolve os lutadores; as pessoas formam um círculo para assistir a luta; os chutes frontais, do tipo benção e martelo, tem uma trajetória de 180º. Na meia lua, o compasso gira 360º no eixo do corpo. Os saltos e rodopios no ar desafiam a gravidade e os limites do corpo.

Existe Matemática na Capoeira?


A Matemática também pode ser encontrada em diversas outras expressões culturais de matriz africana, integrando mitos, religiosidade, corpo, e maneiras particulares de se relacionar com o tempo e espaço.

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Conheça o projeto Reforço Olímpico

- 6 de agosto de 2016 Sem comentários
Idealizado pela página Obmepeiros (página para discussão sobre a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP), do Facebook, surge mais uma oportunidade gratuita e de qualidade para quem quer estudar Matemática: O Projeto Reforço Olímpico.

Conheça o projeto Reforço Olímpico

Lembrando que a página Obmepeiros já conta com a Olimpíada Brasileira de Matemática Virtual – OBMV, que este ano realizou sua segunda edição. A OBMV visa preparar os alunos de escolas públicas e particulares para a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP e para a Olimpíada Brasileira de Matemática – OBM. Esse novo projeto será um complemento da OBMV e servirá para preparar qualquer pessoa que tiver interesse de se aprofundar em Matemática além do nível escolar. Ele será dividido em aproximadamente 115 semanas (mais de 2 anos) começando desde o básico da Matemática até a mais avançada Matemática olímpica. Será um processo gradual que, com empenho do aluno, em 2 anos ele estará totalmente preparado para olimpíadas científicas no ramo da Matemática.

“A cada semana será postado um plano de estudos, incluindo videoaulas completas de conteúdo, vídeo aulas de resoluções de exercícios e materiais em PDF. Tudo pertencente ao Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), a única coisa que faremos será organiza-los e guia-los”, diz Renan Oliveira Proença, aluno premiado da OBMEP que é coordenador e um dos idealizadores dos projetos Obmepeiros, OBMV e Reforço Olímpico. Também, de acordo com Renan, “neste primeiro momento postaremos apenas conteúdo de Matemática, mas talvez em 2017 acrescentaremos outras matérias como Física e Química”. 

Conheça o projeto Reforço Olímpico

Aproveite essa grande oportunidade para estudar, lembrando mais uma vez que é de graça e que as aulas pertencem ao IMPA, valorizando ainda mais o projeto. 

Para acessar o site, clique em obmepeiros.wix.com/obmepeiros, e em caso de dúvidas, entre em contato com o Renan por meio da página Obmepeiros: https://www.facebook.com/obmepeiros/.


Grande abraço e bons estudos!


A Matemática no Continente Africano – Os Fractais

- 30 de julho de 2016 Sem comentários
Continuando a série de artigos sobre a Matemática no Continente Africano, agora falaremos sobre os Fractais Africanos. Utilizados na arte, religião, arquitetura e urbanismo, os fractais fazem parte da cultura africana.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais nas aldeias do Continente Africano


Afinal, o que são Fractais?


Falar sobre Fractais é também falar sobre Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos. Considere que, o bater de asas de uma simples borboleta possa influenciar no curso natural das coisas, e assim provocar um tufão do outro lado do mundo. Esse exemplo, chamado por Edward Lorenz em 1963, de Efeito Borboleta, é um dos diversos exemplos que podemos falar sobre Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, nos quais são encontrados em diversas áreas das ciências exatas, médicas, biológicas, humanas, e até na natureza.

Teoria do Caos é o nome dado a uma importante descoberta sobre a teoria dos sistemas dinâmicos, que é a Matemática dos sistemas que se alteram ao longo do tempo de acordo com regras específicas. O nome se refere a um tipo de comportamento surpreendente chamado de caos determinístico. Um sistema é chamado de determinístico se seu estado presente determinar inteiramente seu comportamento futuro. O caos determinístico é abreviado para “caos”, sendo um comportamento aleatório em um sistema dinâmico determinístico.

Com a descoberta de que o mundo não é descrito somente com a Geometria Euclidiana (baseada nos postulados do livro “Os Elementos”, de Euclides de Alexandria), as geometrias não euclidianas introduziram novos objetos que representam certos fenômenos do universo, como a Geometria Hiperbólica, a Geometria Esférica e a Geometria Fractal.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Exemplos de Fractais 

A Geometria Fractal, introduzida por Benoit Mandelbrot em 1975, estuda os subconjuntos complexos de espaços métricos, onde os objetos estudados são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele mesmo, no qual o objeto é composto por partes reduzidas dele próprio. O termo Fractal surgiu para denominar uma classe especial de curvas definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais, com uma estrutura geométrica ou física tendo uma forma irregular ou fragmentada em todas as escalas de medição. De acordo com Mandelbrot, o todo forma a parte e a parte reflete o todo, assim como, o todo reflete a parte. Fractais são figuras geométricas produzidas por meio de equações matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade, contendo dentro de si, cópias menores deles mesmos, e assim sucessivamente. Apesar de parecer aleatório, os Fractais e a Teoria do Caos obedecem certas regras, como o fluxo dos rios, entre outros fenômenos da natureza, possuindo uma dimensão fracionária. Podemos encontrar os Fractais na Natureza (árvores, rios, brócolis, montanhas, nuvens), na Medicina (estrutura do pulmão e no sistema cardiovascular), na Arte (pinturas e músicas), na Computação Gráfica (animações digitais), na Economia (comportamento da Bolsa de Valores), entre outros. 

Um clássico exemplo de fractal é demonstrado na Curva de Koch, de Hege Von Koch, relacionada ao floco de neve de Koch. Cada segmento em linha reta é substituído, a cada iteração (processo de repetir o mesmo passo ou uma série de passos), por quatro segmentos de um terço de seu tamanho, de modo que o comprimento da curva aumenta.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais


Fractais Africanos 


Como vimos no início deste artigo, os Fractais fazem parte da cultura africana.


A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na arquitetura e urbanismo africanos

O Fractal é muito utilizado na arquitetura e urbanismo, como na aldeia de Logone Birni, em Camarões. Ao lado do rio Níger, o povo “Kotoko” construiu a aldeia a partir de um motivo de base retangular, partindo do palácio real por meio de um motivo fractal construído pela repetição sobre uma fração de lados de um retângulo inicial, construindo retângulos de proporções idênticas. Em seguida, novamente sobre os quatro retângulos, 16 outros são formados. O resultado é uma “grade” composta pelos lados de 20 retângulos, sobre a qual se pode sobrepor a planta do palácio real. Da entrada do palácio à sala do trono, o visitante percorre uma espiral retangular, chamada “caminho de luz”, cujos lados diminuem regularmente após cada ângulo. À medida que progride (em cada alteração de escala), o visitante adota uma linguagem mais polida e respeitosa. Uma vez na sala do trono, ele já não está usando seus calçados, e seu linguajar é particularmente preciso e codificado.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Aldeia Logone Birni, em Camarões

Também em Camarões, mas nas montanhas Mandra, vivem diversas etnias que se auto referem como “Kirdi”. Utilizam o design fractal “Mokoulek”, com pequenos silos circulares e celeiros circulares maiores em espiral dentre de três grandes recintos de pedra, que fazem outro espiral a partir de um ponto central que é a parte quadrada. Esse design não é uma somente uma questão de adicionar celeiros de forma aleatória, mas sim “a expansão de um processo quantitativo e deliberado”, no qual existe um tipo de algoritmo que determina como o sistema expande para acomodar o crescimento, convertendo a medida do volume em números de silos e estes arranjados em espirais, determinado pelo conhecimento do rendimento agrícola.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Aldeias da etnia Kirdi, em Camarões 

Encontramos também, fractais na estrutura do povo “Ba-ila”, na Zâmbia. O motivo inicial é uma curva circular não fechada, com enormes anéis, na qual se inscreve um segmento retilíneo. Ele é cortado em “zonas ativas”, que serão substituídas por um motivo idêntico ao inicial, mas mais reduzido. A mesma operação é repetida em cada uma das zonas ativas do novo modelo. O resultado dá conta da estrutura global da aldeia. Cada extensão desses anéis, formando-se os círculos, são as casas de família (na parte de trás de cada casa é o altar doméstico). Próximo ao portão principal são os locais de armazenamento de pequeno porte, movendo-se em torno do anel, formando assim habitações progressivamente maiores, até chegar na maior que é “a casa do pai”, em frente ao portão. Na “casa do pai”, mora o chefe da tribo (tido como o pai da comunidade), descrito pela palavra “kulela”, que significa “curandeiro e aquele que acalenta”, com uma relação ecoada por todos e os laços espirituais em todas as escalas, e é estruturalmente mapeado através da arquitetura auto similar.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Aldeia Bai-la, na Zâmbia

Assim como nas construções, os fractais são encontrados nas religiões africanas para mostrar deuses com o maior e menor poder espiritual. Os deuses que representam padrões cíclicos ordeiros (como Nummo, em Mali e Dan, em Benin) tem o menor poder, e os deuses associados com o poder da vida (como Nyame, em Gana e Mawu, em Benin) tem o maior poder.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Forma cíclica dos deuses africanos 

Os fractais também são vistos em tecidos, esculturas, máscaras, ícones e cosmologias religiosas africanas. Em seus cobertores, há uma interessante história, pois os que são tecidos para casamentos dizem ter uma energia espiritual tecida em cada padrão e que cada iteração sucessiva mostra um aumento nesta energia. Os tecelões acreditam que, se o trabalho parar no meio, onde o padrão é mais denso, com maior energia espiritual, haverá risco de morte. Assim, o casal precisa manter os tecelões acordados até a finalização do cobertor, dando-lhes comida e nozes de kola.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Cobertor Fractal 

Muitos dos famosos penteados trançados africanos utilizam a técnica dos fractais para criar belos e intrincados penteados, trançando iterações.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais nos penteados trançados 

Na Etiópia, os fractais podem ser vistos em cruzamentos de ruas (com uma iteração três vezes) e também nas igrejas de Lalibela.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na arte da Etiópia 

Finalizando, os fractais podem até mesmo ser ouvidos na poli rítmica africana, com ritmos simultâneos semelhantes em diferentes escalas.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na música poli rítmica africana

Obs.: As fontes principais deste artigo foram a Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial - Etnomatemática e o site O Grande Jardim


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Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar

- 20 de julho de 2016 Sem comentários
Amigos, com muito prazer, recomendo este livro, que particularmente utilizo em sala de aula desde o ano de 2013: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar, com autoria do meu amigo e professor de Matemática, Gilberto Apolonio Barbosa. O livro é indicado para professores, alunos e pessoas que gostam de Matemática. 

Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar


Gilberto é formado com Licenciatura em Matemática, e também em Administração de Empresas, com pós graduação em Psicopedagogia. Foi condecorado com a Ordem do Mérito Educacional pela Câmara dos Vereadores na cidade de Itaú de Minas (MG), devido a relevância dos trabalhos prestados como professor de Matemática na rede municipal e pelo CHAME – Centro de Habilitação de Menores, onde desempenhava atividades voluntárias elaborando diversos cursos nas áreas de relacionamento familiar, liderança e Administração de Empresas. Atualmente, é professor de Matemática na rede municipal de ensino na cidade de São Paulo. 

De acordo com o autor: 

“O objetivo desse trabalho não é ensinar Matemática através da encantadora forma da poesia, nem tampouco o de propor aos nobres profissionais docentes uma nova forma de fazê-lo. Propor isso seria simplório ou até mesmo leviano. Mesmo não tendo tais alvos, em nada é diminuída a sua importância.

Mas então ao que atém tal trabalho? 

Talvez possamos ampliar a porta de entrada ao mundo da Matemática com tal iniciativa. Ou, quem sabe, impedir que ela se estreite ainda mais. É possível que para algumas pessoas, desperte até um grande interesse pelo aprendizado da Matemática. Seria presunção pensar assim? 

Este trabalho tenta associar de maneira harmônica os diversos componentes e quiçá as diversas Ciências. Acreditamos que o uso de tais redações, associadas ao forte comprometimento dos profissionais docentes, poderá trazer frutos ainda melhores à atividade do ensino. Quem sabe estes singelos textos, como abertura do ensino de determinados tópicos, possam representar apenas uma cerejinha no enorme bolo que o dedicado profissional de educação tenta construir com cada um de seus famintos alunos.”

Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar


Coletânea de poesias, permeadas por textos em prosa selecionados em capítulos pelos seguintes assuntos:

Uma questão de valores - Nesse capítulo a tônica são os valores pessoais necessários ao bom convívio social dentro e fora do ambiente escolar.

Matemática em Versos - Poesias pedagogicamente elaboradas que discorrem sobre vários conceitos matemáticos.

Reincluindo a Matemática - Manifestações em poesia e prosa que relacionam a Matemática aos demais componentes curriculares do ensino básico.

Letras para decorar - Neste capítulo, textos com possibilidade de aplicações musicais ajudam a decorar conceitos matemáticos. 

Tudo nesse livro visa tornar acessível a Matemática e a sua relação interdisciplinar com os outros conteúdos programáticos.

Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar


Você pode encontrar o livro na Livraria e loja virtual Asabeça, pelo site www.asabeca.com.br e também pode entar em contato com o autor Gilberto Apolonio em sua página no Facebook

Livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar - Gilberto Apolonio Barbosa - Scortecci Editora - Matemática - Formato 14 x 21 cm - 1ª edição - 2012 - 80 páginas.


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Grande abraço e uma excelente leitura!

A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango

- 12 de julho de 2016 Sem comentários
Continuando a série de artigos sobre a Matemática no Continente Africano, vamos agora conhecer um pouco do objeto mais antigo da humanidade que seja referente a Matemática, o Osso de Ishango ou Bastão de Ishango.

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Osso ou Bastão de Ishango

Como dissemos no artigo anterior, existem diversos objetos, descobertos por arqueólogos e que atualmente estão em museus, que comprovam a prática da Matemática por diversos povos da antiguidade, principalmente no continente africano. O objeto mais antigo, provavelmente de 35.000 anos a.C, é o Osso de Lebombo. Descoberto numa caverna, nos Montes Libombos, entre a África do Sul e Suazilândia, o osso, ou uma fíbula de babuíno, tem 7,7 centímetros com 29 entalhes, e se assemelha com os bastões calendário utilizados antigamente e ainda hoje por alguns Clãs de Bosquíamos da Namíbia. Acredita-se que o Osso de Lebombo era usado pelos Bosquíamos para calcular números e medir a passagem do tempo, e como media os ciclos lunares, acredita-se que também era usado no controle do ciclo menstrual das mulheres.

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Osso de Lebombo

Apesar do Osso de Lebombo ser muito mais antigo, grande parte dos historiadores e cientistas só consideram o Osso de Ishango ou Bastão de Ishango como o objeto mais antigo da Matemática, por ter uma aritmética concreta, e com isso, estudado com profundidade. O osso, provavelmente, é de 20.000 anos a.C., no Paleolítico Superior, proveniente do vilarejo de mesmo nome, que fica no Congo, na divisa com Uganda. É um pequeno osso petrificado, de apenas 10 cm de comprimento, com um cristal de quartzo em uma extremidade (provavelmente para gravar, já que na época não existia a escrita) e que trazia três séries de entalhes agrupados. Atualmente, o osso está no Instituto Real Belga de Ciências Naturais, em Bruxelas, na Bélgica. Alguns arqueólogos dizem que os cálculos são referentes a um jogo aritmético, e outros dizem ser referente ao calendário lunar.

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Osso de Ishango no Instituto Real Belga de Ciências Naturais 

O Bastão de Ishango tem sua primeira coluna com entalhes unidas em pequenos grupos: de 3 e 6 entalhes; 4 e 8; 10; 5 e 5; e 7 entalhes. As outras duas colunas são formadas por grupos de 11, 21, 19, 9 e 11, 13, 17, 19 entalhes. Para quem defende ser um jogo aritmético, diz que uma operação de duplicação dos números aproximada na primeira coluna, seguida do “ritmo” de 10 + 1, 20 + 1, 20 – 1, 10 – 1 e, na seguinte, os números primos entre 10 e 20. Para quem defende ser a representação do calendário lunar, diz que a soma de cada uma das duas últimas colunas 11, 21, 19, 9 e 11, 13, 17, 19 é igual a 60, ou seja, dois meses lunares, e a primeira coluna dá um total de 48 traços, equivalente a um mês e meio lunar.

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Entalhes nas três colunas do Osso de Ishango

O Osso de Ishango, por ser um objeto extremamente antigo, em média de 15 mil anos antes da civilização egípicia, espantou toda a comunidade científica, já que seus traços agrupados mostram uma lógica matemática. Para explicar os quatro traços grandes e os três traços pequenos do número 7, verifica-se que alguns povos utilizam gestos e palavras diferentes (dentro do mesmo povo) para expressar um mesmo número. Por exemplo, o número 7 poderia ser expresso por 5 e 2 ou 4 e 3, assim como o povo mbai (etnia nilo-saariana que vive na República Centro-Africana, no Chade e na Nigéria) dizem muta muta para o número 6 (ou seja, 3 + 3 ); o número 8 chama-se soso (4 + 4), entre outros. Em diversas línguas na África Oriental, o número 8 chama-se muname, correspondente a ne-na-ne (4 + 4).

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Osso ou Bastão de Ishango

Estudiosos desconfiam haver dois sistemas de numeração, simultaneamente, no Bastão de Ishango, pois estudando o sistema baali (etnia do Alto Congo), 4 e 6 são os números de base. O papel do 10, base do sistema de numeração decimal, é desempenhado pelo 24 (4 x 6). Quando o 576 (24²) é obtido, é inventada uma nova palavra e o método de contagem recomeça desde o início. Os ndaaka (etnia do noroeste do Congo) misturam as bases 10 e 32; o 10 é conhecido como bokuboku; o 12 por bokuboku no bepi (10 + 2); o 32 é edi; o 64 é edibepi (32 x 2), entre outros. 

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Entalhes nas três colunas do Osso de Ishango

O Bastão de Ishango tornou-se um objeto que confirmou que alguns africanos se divertiam fazendo cálculos. Nele, não foi observado nenhum traço com números primos, mas sistemas numéricos de base mista, como o 6 e 10, poderiam explicar as sequências 5 (6 – 1), 7 (6 + 1), 11 (2 x 6 – 1), 13 (2 x 6 + 1), 17 (3 x 6 – 1), 19 (3 x 6 + 1) para os quatro primeiros números de uma coluna (11, 13, 17 e 19); e 9 (10 – 1), 11 (10 + 1), 19 (2 x 10 – 1) e 21 (2 x 10 + 1) para os elementos da outra coluna. Suspeita-se que o comprimento dos entalhes tem algum sentido, por exemplo, na coluna do meio, o segundo grupo tem seis traços, sendo três traços de mesmo comprimento, seguido por um traço mais comprido e por um ainda maior, chegando a seis. Da mesma forma, o quarto grupo, com oito traços, é constituído por um subgrupo de três traços mais longos. Assim, cada grupo estaria subdividido. Então, o Bastão de Ishango tem um sistema de contagem de bases mistas, explicando por que as somas das colunas são 60 e 48 (dois números múltiplos de 3 e de 4). 

Assim como o povo de Ishango e outros povos do Congo, foram descobertas algumas palavras usadas para designar números na região dos yasgua, na Nigéria: 1 se diz uniy; 2, mva; 3, ntad...; 8, tondad...; 12, nsog; 13, nsoi (12 + 1); 14, nsoava (12 + 2), etc. Os Birom, também na Nigéria, utilizavam: 1 se diz gwinì; 2 ; 3 tàt; 9 aatàt (12 – 3); 10 aabà (12 – 2); 11 aagwinì (12 – 1); 12 kúrú; 13 kúrú na gw gwinì (12 + 1); 14 kúrú na v bà (12 + 2), 15 kúrú na v tàt (12 + 3), etc.

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Versão gigante do Osso de Ishango, em Bruxelas, Bélgica

Como as somas das três colunas do bastão são números múltiplos de 12, e como outros povos africanos antigos misturavam as bases 10 e 12, há grandes indícios de que esses povos foram influentes nos sistemas de numeração 10, 12 e 60, em civilizações do Oriente Médio e no Egito. Lembrando que utilizamos esses sistemas de numeração até hoje, como a dúzia, meses do ano, 24 horas no dia, polegadas, etc. (base 12); horas, minutos e segundos, 360 graus e seus submúltiplos (base 60); e diversas situações de nosso cotidiano, no caso do sistema decimal. Lembrando também que essas civilizações foram influentes para o progresso da matemática grega, então, há uma enorme importância de outros povos, milhares de anos mais antigos, como o de Ishango, na História da Matemática.

 A Matemática no Continente Africano – O Osso de Ishango
Origem do Osso de Ishango - Divisa do Congo com Uganda

Nas próximas postagens, continuaremos a falar sobre a Matemática no Continente Africano. Lembrando que, antes de começar a série de artigos sobre o continente, já havíamos escritos dois artigos referente aos Papiros da Matemática Egípcia, o Papiro de Rhind ou Ahmes e o Papiro de Moscou

Obs.: A fonte principal deste artigo foi a Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial - Etnomatemática.

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A Matemática no Continente Africano

- 2 de julho de 2016 Sem comentários
Tentando desmistificar um pouco sobre a origem e utilização da Matemática no cotidiano, veremos uma série de artigos sobre a Matemática no Continente Africano. O motivo que me levou a escrever esses artigos foi devido a um pedido de apresentação sobre o tema na escola em que trabalho, no qual um professor da USP, que faz formações e debates sobre o continente africano em nossa escola, pediu essa apresentação. Antes de fazer a apresentação em slides para a escola, resolvi fazer alguns artigos e compartilhar aos poucos com vocês.

A Matemática no Continente Africano
Continente Africano

Venho lembrar que grande parte dos amigos que acompanham este blog e nossa página no Facebook são do continente africano, de países como Angola (3º lugar do nosso público geral, após Brasil e Portugal, e entre os amigos de portugueses, muitos são professores), Moçambique, Argélia, Namíbia, Cabo Verde, África do Sul, Egito, Paquistão, República do Congo, entre outros. Amigos que, constantemente, participam ativamente de nossa página no Facebook, mostrando grande interesse pela Matemática, participando também de alguns grupos sobre o assunto, tanto contribuindo quanto solicitando ajuda em diversos exercícios, mostrando o gosto e a vivência da Matemática em seu cotidiano. 

Quando pensamos em História da Matemática, logo nos vem à mente a Grécia Antiga. Nos aprofundando um pouco mais, ouvimos dizer sobre o Antigo Egito, mas como se essa fosse uma civilização separada do continente africano. Quando ouvimos falar sobre o Antigo Egito, não pensamos na África Negra, mas sim um povo de origem branca, tanto que até em programas de TV que relatam algumas histórias da época, sejam em novelas, seriados ou filmes, mostram, em sua maioria, atores de origem branca. Quando ouvimos dizer sobre a África, é algo sobre a época colonial, a escravidão e problemas financeiros. 

Geralmente, resumimos a História da Matemática iniciando com algumas civilizações antigas, que se formaram nas margens de rios, como na Mesopotâmia (que significa "terra entre rios", formou-se entre os rios Tigre e Eufrates, hoje, atual Iraque) com os babilônios e sumérios, e logo depois com o Antigo Egito (nas margens do rio Nilo). Falamos sobre a explosão do conhecimento científico na Grécia Antiga, citando diversos matemáticos famosos e vemos um pouco sobre a Matemática Árabe (citando a Álgebra, o sistema de numeração hindu e Al – Khwarizmi) e algo sobre a Matemática Chinesa. Depois, vemos todo progresso da Matemática na Europa, principalmente da época do Renascimento em diante. Podemos afirmar que, assim como em diversas áreas do conhecimento, o eurocentrismo também atua, e fortemente, na História da Matemática. 

A Matemática no Continente Africano
Iraque (antiga Mesopotâmia), Egito e Grécia.

Alguns historiadores acreditam que Tales de Mileto, Pitágoras, entre outros gregos, buscaram o conhecimento matemático no Antigo Egito. Mas, muito antes da civilização egípcia surgir, o ser humano já existia no Planeta Terra, e como geralmente todo conhecimento veio através de conhecimentos antigos, nos quais foram aprimorados, é possível que os egípcios também aprimoraram conhecimentos de povos mais antigos, e no continente africano. Há algumas evidências nisso, como em estatuetas, ferramentas, costumes e lendas de povos antigos. Em nosso próximo artigo, falaremos um pouco sobre sistemas de numerações (de povos antigos da África,  como na Argélia e Congo, a cerca de 20 mil anos) que podem ter originado os sistemas de base 10, 12 e 60, utilizados por essas primeiras civilizações (Mesopotâmia e Egito), e até hoje por nós, como a dúzia, meses do ano, 24 horas no dia, polegadas, etc. (base 12); horas, minutos e segundos, 360 graus e seus submúltiplos (base 60); e diversas situações de nosso cotidiano, no caso do sistema decimal. 

Conforme escrevi no artigo Breve História da Matemática, falar em História da Matemática é também falar da História da Humanidade. De acordo com a ciência, o ser humano teve sua origem na África, começando pelos Hominídeos a 6 milhões de anos, que viviam da caça de pequenos animais selvagens e das frutas e raízes que colhiam, tinham que adaptar seus instrumentos de pedra, madeira e osso de acordo com a necessidade. O Homo Habilis a 3 milhões de anos, aperfeiçoaram os machados e o Homo Erectus a 2 milhões de anos, dominou o fogo; o Homem de Neanderthal a 300 mil anos aquecia suas cavernas com fogo e cozia os animais que capturavam, além de registrar suas caçadas em pinturas murais elegantes e detalhadas. O Homo Sapiens (o novo homem) e logo após o Homo Sapiens Sapiens a 250 mil anos, substituiu as moradias em cavernas por estruturas móveis – barracas de peles de animais com cobertura de madeira – que podia levar consigo nas caçadas. O ser humano, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico, pelo menos ao ponto de reconhecer mais e menos quando se acrescentavam ou retiravam alguns objetos de uma coleção pequena, além de discenir o tamanho maior e menor. Com o passar do tempo, o homem passou a cultivar a terra e criar animais, com isso, deixou a vida de nômade e construiu moradias fixas, formando as primeiras aldeias. Após, as aldeias transformaram-se em cidades e em grandes civilizações, necessitando de novos conhecimentos, como sobre terras e fertilidade, sementes, técnicas de plantio e colheita, calendários agrícolas, comércio, entre outros. Surgem as classes sociais, a propriedade, o Estado, a escrita e o número. No demais, já conhecemos um pouco do processo histórico a partir dessas civilizações. 

A Matemática no Continente Africano
Algumas formas de contagem pelos povos antigos: nós em cordas, contagem com pedras e lascas em ossos

Existem diversos objetos, descobertos por arqueólogos e que atualmente estão em museus, que comprovam a prática da Matemática por diversos povos da antiguidade (como ossos, tábuas de argila e papiros), principalmente no continente africano. Há também diversas teorias sobre os sistemas de contagem, como com pedras; lascas em madeiras, ossos e cavernas; nós em cordas e a origem da contagem com os dedos, surgindo assim alguns sistemas de numeração, entre eles, o sistema de numeração decimal.

Em nossas postagens anteriores, já falamos sobre os Papiros da Matemática Egípcia, que são o Papiro de Rhind ou Ahmes e o Papiro de Moscou, originários do Antigo Egito. 

Nas próximas postagens, falaremos em temas diversos sobre a Matemática no Continente Africano. Começaremos pelo registro histórico mais antigo da humanidade (cerca de 20 mil anos), conhecido como Osso de Ishango, explicando as teorias referentes aos cálculos neste objeto e a influência dos sistemas de numerações nas primeiras civilizações. Também falaremos sobre alguns sistemas de contagem, música, gráficos, jogos, urbanismo e arquitetura por meio de fractais, a Matemática na capoeira, a Matemática no cotidiano, entre outros. 

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Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

- 16 de junho de 2016 1 comentário
Amigos, venho apresentar a vocês um belo instrumento para trabalhar com Trigonometria, seja em escolas, cursos técnicos, indústrias, metalúrgicas e na engenharia civil. Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria, ou, numa linguagem formal, Instrumento Matemático Trigonométrico, desenvolvido para auxiliar o ensino e aprendizado da Trigonometria.

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

Por definição do autor, Vicente Parra Filho (ferramenteiro por 25 anos, hoje aposentado, na Volkswagen do Brasil e professor de Metal Mecânica no SENAI), o Vicmetro é um instrumento tecnológico de medição e aferição de ângulos, catetos, hipotenusas e cálculos trigonométricos.

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

Traduzindo, o instrumento desenvolvido proporciona a leitura direta dos elementos matemáticos acima elencados, ou seja, possibilita respostas imediatas aos exercícios sem o uso de calculadoras, tabelas de seno, cosseno, tangente e cotangente, apresentando grande eficiência para medir, aferir, conferir e transferir ângulos e na solução de cálculos trigonométricos.

O instrumento é a junção de duas peças:

  • Um retângulo central com coordenadas horizontais e verticais em escala milimétrica, interno a um transferidor de graus que, por sua vez, está inserido em um retângulo maior com as laterais em escala milimétrica;
  • Uma régua articulada milimétrica fixada ao centro do retângulo central. 

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

O funcionamento do projeto consiste em se trabalhar com ambas as peças supracitadas em busca de variáveis desconhecidas (catetos, oposto e adjacente, hipotenusa e ângulo) de algum exercício proposto. 

Além do instrumento, tem uma excelente apostila mostrando a teoria e prática da Trigonometria, além de uma breve revisão sobre Trigonometria, Círculo Trigonométrico, tipos de Ângulos, tipos de Triângulos e Teorema de Pitágoras.

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

Conheça o Vicmetro, no site tem fotos, vídeo e mais elementos que explicam o seu funcionamento. Assim como algumas demonstrações da apostila.

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

Veja no final da postagem, uma demonstração prática da utilização do Vicmetro, apresentada na III Feira Nacional de Matemática, pelos alunos do curso de Eletromecânica do Instituto Federal da Bahia. Essa demonstração (Descobrindo a inclinação de um telhado por meio do Vicmetro) está em arquivo PDF, para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar.

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

Na minha opinião, é um material muito rico como jamais vi antes nesse quesito. Falando pela área educacional, o aluno consegue enxergar o que está fazendo, já que a Matemática na escola é muito abstrata, e por meio do instrumento ele vê os cálculos precisos. Para opinar, eu recebi o material, li toda a apostila, manuseei, testei os exercícios da apostila e também exercícios de alguns livros didáticos. Recomendo para meus amigos professores e também aos alunos.

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria

Em caso de dúvidas, entre em contato com o professor Vicente Parra. Conheça esse belo instrumento pelo site http://vicmetro.com.br/blog/ .

Grande abraço e até a próxima!

Conheça o Vicmetro: instrumento que une teoria e prática da Trigonometria


Correção de Matemática da última prova do Concurso Público para o Tribunal de Justiça / TJ – SP

- Sem comentários
Atendendo a mais um pedido dos amigos, postaremos agora a correção de Matemática da última prova do Concurso Público para o Tribunal de Justiça de São Paulo / TJ – SP. Essa prova foi aplicada pela Fundação Vunesp no dia 26/04/2015, para o cargo de Escrevente Técnico Judiciário, para o Litoral e Interior. 

 Correção de Matemática da última prova do Concurso Público para o Tribunal de Justiça / TJ – SP


Lembrando sempre, que existem diversas formas de resolverem questões de Matemática, então, provavelmente nossos amigos resolveram de outra maneira e acharam mais fácil a sua forma de resolução, isso é sem problemas. 

Assim como em todas as outras correções de provas, não numerei as questões de acordo com a prova oficial, e sim de acordo com a sequência das questões, de 1 a 10. Primeiro digitei somente as questões, e logo abaixo digitei as respostas e coloquei os temas aos quais se referem sobre os conteúdos de Matemática.

Segue em anexo, a correção da prova em arquivo PDF, para você salvar, imprimir, e estudar onde quiser! 

Aos poucos, vou postando outras correções de provas, fique de olho!

Grande abraço e sucesso!!! 


Prepare-se já!


Caso precisarem de aulas particulares de Matemática em SP, estou a disposição para maiores esclarecimentos neste blog, nos perfis das redes sociais com links que estão aqui, pelo Facebook, no Google Plus, Twitter, Instagram ou pelo Linkedin, e também nos e-mails:contato@matematicaefacil.com.br ou jefferson.matematica@hotmail.com.

As aulas particulares presenciais em SP são lecionadas em domicílio, tanto na residência do aluno, quanto em bibliotecas públicas ou em empresas. Também temos aulas particulares via Skype para todo o Brasil. Para aulas preparatórias de concursos públicos, trabalho com apostila de concursos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar. 

Conheça também meu Portfólio no link que também está neste blog.

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Grande abraço, bons estudos e boa prova!

 Correção de Matemática da última prova do Concurso Público para o Tribunal de Justiça / TJ – SP



Concurso Público para o IBGE

- 11 de junho de 2016 Sem comentários
Em mais um concurso público neste ano, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, anunciou mais um edital. Serão até 7.500 no processo seletivo simplificado com vagas temporárias para o cargo de Agente de Pesquisas e Mapeamento, exigindo o Ensino Médio completo. 

Concurso Público para o IBGE


As vagas serão distribuídas para todos os Estados e também para o Distrito Federal, com jornada de trabalho em 40 horas semanais e salário no valor de R\$ 1.250,00, além de auxílio alimentação e transporte. 

Para a cidade de São Paulo, serão 292 vagas. 

As inscrições devem ser realizadas no site da Fundação Cesgranrio, entre os dias 21 de junho e 19 de julho de 2016, com a taxa de inscrição no valor de R\$ 30,00. 

A prova objetiva será realizada, provavelmente, no dia 04 de setembro de 2016, com duração de quatro horas (13h00 às 17h00). Serão 60 questões, divididas entre: 

Língua Portuguesa (25), Geografia (20) e Raciocínio Lógico (15). 

Segue os conteúdos de Raciocínio Lógico: I - Avaliação da habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações entre pessoas, lugares, coisas ou eventos, deduzir novas informações e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. II - As questões da prova poderão tratar das seguintes áreas: estruturas lógicas; lógica de argumentação; diagramas lógicos; aritmética; álgebra e geometria básica.

Confira abaixo o edital com todas as informações do concurso, em arquivo PDF para você salvar, imprimir e analisar em qualquer lugar. 


Prepare-se já!


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Concurso Público para o IBGE