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Histórias e conceitos do Quadrado Mágico

- 12 de novembro de 2017 Sem comentários
Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de lado n, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. Esses quadrados são bem semelhantes aos trabalhos com matrizes. 


Existem diversas versões sobre a origem dos quadrados mágicos, mas a maior evidência é que tenha vindo da China ou Índia, por volta de 3000. O nome quadrado mágico foi dado pois na época achava-se que esses tipos de quadrados tivessem poderes especiais, fazendo com que muitos usassem gravados em metal ou em pedra, em forma de amuletos ou talismãs. 

No século XV, os quadrados mágicos ficaram conhecidos na Europa a partir da obra “Tratado de Quadrados Mágicos” do escritor bizantino Manuel Moschopoulos. Na época, eram relacionados com a alquimia e a astrologia, e um quadrado mágico gravado numa placa de prata era usado como amuleto contra a peste. Em 1510, aproximadamente, Heinrich Cornelius Agrippa escreveu “De Occulta Philosophia”, que falava de quadrados mágicos de ordem 3 até a ordem 9 que eram associados aos planetas astrológicos. Esses tipos de quadrados mágicos, sua história e aplicações podem ser vistos no trabalho do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra.

Existem diversos tipos de quadrados mágicos, e o mais conhecido é o quadrado de ordem 3. Coloca-se números de 1 a 9 sem repetição, no quais somam-se cada linha, coluna e diagonal, com resultado 15.

Exemplos: 



Existem algumas respostas para esse tipo de quadrado mágico, portanto, os números pares sempre permanecem nas pontas, não podendo estar na mesma linha os números 4 e 6. 


Pode-se trabalhar também outros quadrados mágicos, sendo esse exemplo o mais simples.

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Grande abraço!!!

Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes

- 9 de novembro de 2017 Sem comentários
Determinante de uma matriz quadrada é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras. Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à Álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, conforme trabalhado nos conteúdos de determinantes e sistemas lineares. Neste artigo, vamos conhecer um pouco das Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes.
Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes

Os trabalhos com matrizes e determinantes iniciaram no século II a.C. Os babilônios estudaram problemas que tiveram como soluções sistemas lineares de duas variáveis, no qual estão preservados em tabletes de argila. Os chineses tiveram grandes contribuições, mostrando os primeiros exemplos com matrizes no texto “Nove capítulos da arte Matemática”. Apesar de seu início na antiguidade, os trabalhos com matrizes tiveram contribuições de Josefh Louis Lagrange, em 1790 (trazendo o primeiro uso implícito da noção de matriz), mas foram retomados somente no século XIX (considerado um dos períodos mais revolucionários em termos de avanços matemáticos), com Augustin-Louis Cauchy em 1826, dando o nome de tableau (tabela). Diversos trabalhos foram desenvolvidos pelos matemáticos ingleses Arthur Cayley e James Joseph Sylvester. Foi Sylvester, em 1850, que colocou o nome matriz (local onde algo se gera ou cria), no qual via como “um bloco retangular de termos”. Foi Cayley, com sua famosa “Memoir on the Theory of Matrices”, em 1858, que divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade, desmistificando o conceito de matrizes sendo um mero ingrediente de determinantes, passando a ter vida própria. 

As matrizes possuem grande importância na Matemática e no cotidiano do ser humano, utilizadas nas áreas como Economia, Engenharia, Física, Biologia, Computação, entre outros. Um exemplo prático são os pixels da tela de um computador, tomando como exemplo uma tela com 640 x 480 pixels. Esses números indicam que a tela é formada por uma tabela com 307.200 pontos (área da tela), ou pixels. Essa tabela tem 480 pontos de altura e 640 pontos de largura. Para localizar um ponto nessa tabela, você pode dar como endereço um par (a,b), onde A seria a linha e B a coluna. As matrizes organizam os números em forma de tabela, e permitem localizar um número por meio de um par (a,b) tal como na tela do computador, guardando em cada posição a sua cor. Numa tela com 256 cores, cada pixel guarda um número entre zero e 255, dando 256 possibilidades, ou 2^8 (2 elevado a 8). Esse exemplo também é válido para telas de televisores. 

Em boletins escolares, o uso de matrizes também é normal, conforme exemplo abaixo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:



 Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9

           
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Histórias e Aplicações de Matrizes e Determinantes

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.

Outras aplicações práticas de matrizes estão detalhadas no trabalho acadêmico “Algumas aplicações de matrizes”, da Universidade Federal de Santa Catarina. Nesse artigo, além de explicações, operações e propriedades de matrizes, há algumas aplicações práticas como o uso de matrizes na criptografia, em modelos populacionais e na “Cadeia de Markov”, um processo no qual a probabilidade de um sistema estar em determinado estado em um dado período de observação depende apenas do estado no período de observação imediatamente anterior.

Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Carley, lembrando que antes dele, as matrizes eram ingredientes das determinantes. A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz, em 1693, na criação da Teoria dos Determinantes, visando o estudo de sistemas de equações lineares, embora considerações semelhantes já tivessem sido feitas dez anos antes pelo japonês Seki Kowa (considerado o maior matemático japonês do século XVII). Em 1750, o matemático e astrônomo suíço Gabriel Cramer publicou a solução de sistemas lineares, por meio da famosa “Regra de Cramer”, na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin, mas com grande contribuição de Cramer. O francês Étienne Bézout sistematizou, em 1764, o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. Outro francês, Alexandre Vandermonde, em 1771, empreendeu a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares, embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante Teorema de Laplace foi demonstrado no ano seguinte pelo francês Pierre Laplace. 

O termo determinante, com o atual sentido, surgiu em 1812 num trabalho de Augustin-Louis Cauchy, no qual sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (apesar da atual com duas barras verticais aos lados do quadrado de números só surgiu em 1841 com Arthur Cayley) e demonstrou o teorema da multiplicação de determinantes, após a primeira demonstração, meses antes, de Jacques Philippe Marie Binet.

Um dos matemáticos que mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes, além de Cayley, foi o alemão Carl Gustav Jakob Jacobi, conhecido como “o grande alegorista”. Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje em dia.


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Grande abraço e bons estudos!


Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes




Concurso Público para Autarquia Hospitalar Municipal / AHM – SP

- 19 de outubro de 2017 Sem comentários
Mais uma oportunidade de concurso público! Dessa vez, para a Autarquia Hospitalar Municipal / AHM – SP. 

Concurso Público para Autarquia Hospitalar Municipal / AHM – SP


As vagas são para níveis de ensino Fundamental, Médio, Técnico e Superior. Para os níveis que exigem Matemática (Fundamental, Médio e Técnico), estão abertas as vagas para os seguintes cargos e salários: Agente de Apoio Administrativo (Ensino Fundamental, 1 vaga, R\$ 1.132,50), Assistente de Gestão de Políticas Públicas – Gestão Administrativa (Ensino Médio, 63 vagas, R\$ 1.380,00). Para os cargos de Assistente Técnico de Saúde: Enfermagem (89), Farmácia (14), Imobilização Ortopédica (30), e Segurança do Trabalho (4); e Assistente de Saúde nos segmentos de Eletrocardiografia (6), Gasoterapia (3) e Enfermagem (420). Os salários variam de R\$ 2.000 a R\$ 2.986,67.

O período de inscrições é de 18/10/2017 a 06/11/2017, com valores de R\$ 29,00 a R\$ 63,00, no site do Instituto Mais

A prova objetiva está agendada para o dia 10/12/2017, com os conteúdos de Matemática (8 a 15 questões, dependendo do cargo), Língua Portuguesa, Noções de Informática e Conhecimentos Específicos. 

MATEMÁTICA PARA AGENTE DE APOIO: Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades. Razão e proporção. Porcentagem. Regra de três simples. Porcentagem e juros simples. Equação do 1.º grau. Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e volume e massa. Raciocínio lógico. Resolução de situações-problema.

MATEMÁTICA PARA ASSISTENTE DE GESTÃO DE POLÍTICAS PÚBLICAS: Operações com números reais, Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum, Razão e Proporção, Porcentagem, Regras de Três Simples e Composta, Média Aritmética Simples e Ponderada, Juros Simples, Equação de 1º Grau, Sistemas de Equação de 1º Grau, Relação entre Grandezas, Tabelas e Gráficos, Noções de Geometria: Forma, Perímetro e Área, Sistemas de Medidas Usuais e Resolução de Situações-Problema.

MATEMÁTICA PARA ASSISTENTE TÉCNICO DE SAÚDE E ASSISTENTE DE SAÚDE: Operações com números reais, Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum, Razão e Proporção, Porcentagem, Regras de Três Simples e Composta, Média Aritmética Simples e Ponderada, Juros Simples, Equação de 1º Grau, Sistemas de Equação de 1º Grau, Relação entre Grandezas, Tabelas e Gráficos, Noções de Geometria: Forma, Perímetro e Área, Sistemas de Medidas Usuais e Resolução de Situações-Problema.

Confira o edital para os cargos de Agente de Apoio Administrativo e Assistente de Gestão de Políticas Públicas e o edital para os cargos de Assistente Técnico de Saúde e Assistente de Saúde, completo com todas as informações do concurso. 

Neste blog, temos diversos conteúdos de Matemática que podem te auxiliar a estudar para este e outros concursos, com explicações, exercícios e correções de Matemática de outros concursos públicos, em arquivo PDF para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar, além de muitas videoaulas que contém praticamente todo o conteúdo deste edital. Também temos o nosso canal do YouTube, com explicações e exercícios de conteúdos matemáticos e também exercícios de concursos públicos. 


Prepare-se já!


Caso precisarem, trabalho com aulas particulares de Matemática, presenciais em SP (domicílio ou bibliotecas) e via Skype para todo o Brasil. Em caso de dúvidas, entre em contato no e-mail: contato@matematicaefacil.com.br ou nas redes sociais:  Facebook, YouTube, e Instagram

Trabalho com apostilas de concursos públicos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar. 

Conheça também meu Portfólio no link que também está neste blog. 

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Grande abraço, bons estudos e boa prova!

Concurso Público para Autarquia Hospitalar Municipal / AHM – SP

Conheça o livro: Uma História que se Conta

- 18 de outubro de 2017 Sem comentários
Do mesmo autor do excelente livro Matemática em Verso e Prosa, vamos agora divulgar o lançamento de mais um belo livro, Uma História que se Conta.


Conheça o livro: Uma História que se Conta


De acordo com o autor, meu amigo e professor de Matemática, Gilberto Apolonio Barbosa: “A Matemática tem muitas caras. Pode ser sisuda ou alegre. Em meus livros, tento torná-la acessível e interessante para um maior número de pessoas”.

Conheça o livro: Uma História que se Conta


Gilberto é formado com Licenciatura em Matemática, e também em Administração de Empresas, com pós graduação em Psicopedagogia. Foi condecorado com a Ordem do Mérito Educacional pela Câmara dos Vereadores na cidade de Itaú de Minas (MG), devido a relevância dos trabalhos prestados como professor de Matemática na rede municipal e pelo CHAME – Centro de Habilitação de Menores, onde desempenhava atividades voluntárias elaborando diversos cursos nas áreas de relacionamento familiar, liderança e Administração de Empresas. Atualmente, é professor de Matemática na rede municipal de ensino na cidade de São Paulo.

Conheça o livro: Uma História que se Conta


Também, de acordo com o autor:

"Sou professor de Matemática na rede pública municipal de São Paulo. Em 2004, iniciei uma abordagem diferenciada para o ensino da disciplina. Com o objetivo de aproximar o componente dos demais, comecei a escrever poemas, com lousa e giz, sobre temas do ensino da Matemática.

Este trabalho culminou na publicação, em 2012, do meu primeiro livro: Matemática em Verso e Prosa - Uma Proposta Interdisciplinar. Foram 500 exemplares, produzidos e distribuídos sem nenhum subsídio governamental.

Considerando positiva a experiência, este ano, tive o prazer de publicar meu segundo livro: Uma História Que Se Conta. Neste livro, continuo com a proposta inicial dos poemas, contudo, discorro também sobre temas importantes da Educação, como a interdisciplinaridade, por exemplo."

O autor prefere distribuir seus livros diretamente, pelos Correios, pois assim os remete com uma linda dedicatória.

Contatos pelo Facebook (https://www.facebook.com/gibapolo) ou WhatsApp: (11) 96511 – 5548.

Desejo a todos, uma ótima leitura.

Cordialmente

Prof. Gilberto Apolonio Barbosa


Livro: Uma História que se Conta. Barbosa, Gilberto Apolonio – Scortecci Editora – Crônicas brasileiras, Educação, Poesia brasileira – Formato 14 x 21 cm – 1ª Edição – 2017 – 80 páginas.