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Conheça o Canal Matemática é Fácil no YouTube!

- 24 de setembro de 2016 Sem comentários
Amigos, apesar do atraso em fazer um artigo a esse respeito, venho apresentar o nosso novo projeto. Agora, estamos no YouTube, com o Canal Matemática é Fácil! 

Conheça o Canal Matemática é Fácil no YouTube!


Assim como o blog e nossa página do Facebook, além das outras redes sociais, nosso principal objetivo e ajudar as pessoas com dificuldades de aprendizagem em Matemática, por isso meu foco é a Matemática Básica, que, por mais que muitos amigos já estão familiarizados, outros amigos de diversas idades, mesmo aqueles que já terminaram o Ensino Médio, ainda tem grandes dificuldades no básico da Matemática. 

Comecei as videoaulas pelos Conjuntos Numéricos, e em primeiro momento, com o Conjunto dos Números Naturais. Após, continuaremos com todos os outros conjuntos e vamos progredindo em diversos outros tópicos da Matemática, abrangendo todo o Ensino Fundamental e todo o Ensino Médio. Concomitantemente, teremos videoaulas com dicas de estudos, assuntos importantes no ensino da Matemática e também resoluções de exercícios de ETEC, SENAI, ENEM e principalmente, Concursos Públicos. 

Espero ajudá-los ao longo dos anos, e esteja conosco nesse projeto. Caso gostar, indique aos amigos e sempre contribua com seus comentários, com dicas e sugestões para os novos vídeos. 


Conheça e se inscreva no Canal Matemática é Fácil no YouTube, acesse o link: http://bit.ly/2cS72q8


Veja nosso vídeo de apresentação do canal: http://bit.ly/2cPZcLq   

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Grande abraço e bons estudos!



Concurso Público para Auxiliar de Enfermagem na UNIFESP

- 17 de setembro de 2016 Sem comentários
Ótima notícia para os amigos da área da saúde, surgiu o Concurso Público para Auxiliar de Enfermagem na UNIFESP (Universidade Federal de São Paulo).

Concurso Público para Auxiliar de Enfermagem na UNIFESP


São 40 vagas, exigindo formação em Ensino Médio e Curso Profissionalizante, além do registro no conselho competente que regulamenta a profissão de Auxiliar de Enfermagem. 

Com jornada de trabalho em 40 horas semanais, o cargo oferece salário de R$ 1.834,69, além de benefícios como vale transporte, vale refeição, gratificação por qualificação e insalubridade de acordo com o ambiente de trabalho. 

O período de inscrições serão entre os dias 19 de setembro de 2016 e 07 de outubro de 2016, com valor de R$ 46,00, no site da UNIFESP.

A prova objetiva será aplicada, provavelmente, em 04 de de dezembro de 2016, contendo 50 questões, sendo: Matemática (06), Português (10), Informática (04) e Conhecimentos Específicos (30). 


Segue abaixo o conteúdo programático na disciplina de Matemática: 

Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três simples e composta; porcentagem e problemas. Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade. Conversão de medidas de volume e peso. 


Confira o edital completo com todas as informações do concurso. 


Neste Blog, temos diversos conteúdos de Matemática que podem te ajudar a estudar para este concurso, com explicações e exercícios em arquivo PDF para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar, além de muitas videoaulas que contém todo o conteúdo deste edital. 

Também temos o nosso Canal no YouTube, com aulas semanais todas as quintas-feiras, com explicações e exercícios de conteúdos matemáticos e também exercícios de concursos públicos. 


Prepare-se já!


Caso precisarem de aulas particulares de Matemática em SP, estou a disposição para maiores esclarecimentos neste blog, nos perfis das redes sociais com links que estão aqui, pelo Facebook, no Google Plus, Twitter, Instagram ou Linkedin, e também no e-mail: contato@matematicaefacil.com.br.

As aulas particulares são lecionadas em domicílio, tanto na residência do aluno, quanto em bibliotecas públicas ou em empresas. Também leciono via Skype para todo o Brasil, com 20% de desconto no valor da aula presencial. Para aulas preparatórias de concursos públicos, trabalho com apostila de concursos, livros didáticos, e diversas provas de concursos anteriores que eu imprimo e resolvo, além de imprimir e resolver alguma prova específica que o aluno precisar. 

Conheça também meu Portfólio no link que também está neste blog. 

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Grande abraço, bons estudos e boa prova!

Concurso Público para Auxiliar de Enfermagem na UNIFESP

Breve História dos Logaritmos

- 10 de setembro de 2016 Sem comentários
Eles estão presentes em nosso cotidiano, por mais que não conseguimos perceber. A partir de agora, falaremos sobre uma breve história dos Logaritmos.

Os Logaritmos possuem diversas aplicações na Matemática, entre elas, na Matemática Financeira. Além disso, são utilizados em diversas áreas do conhecimento humano, como na Física, Química, Biologia, Geografia, entre outros. 

Breve História dos Logaritmos


Do grego, “logos” = razão, e “arithmos” = número, ou “número de razão” como disse John Napier, o Logaritmo de um número pode ser entendido de forma simplificada como sendo o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. 

Os Logaritmos surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração, assim como transformam potenciação e radiciação em multiplicação e divisão, respectivamente. 

Breve História dos Logaritmos
Existem vestígios do surgimento dos Logaritmos na Antiguidade, desde que os babilônios construíram tabelas logarítmicas e que Arquimedes de Siracusa, ao se deparar com números grandes, elaborou citações que tiveram importância na elaboração de conceitos iniciais sobre Logaritmos. 

Com a expansão comercial e a necessidade de aprimorar técnicas de navegação, fatos que marcaram os séculos XV e XVI, esses aspectos sociais exigiam métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos. Com o surgimento do Logaritmo, deixou-se de fazer muitos cálculos com relações trigonométricas. 

Além de sua importância nas navegações e no comércio, o Logaritmo também foi importante para calcular o acúmulo de riquezas e dos juros gerados pelas viagens marítimas e no desenvolvimento da Astronomia, com isso, facilitando o trabalho de diversos astrônomos como Tycho Brahe e Johannes Kepler. Na astronomia, em particular, já estava passando da hora para essa descoberta, pois, como afirmou Pierre Simon Laplace, a invenção dos Logaritmos “ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astrônomos”. 

Embora muitos matemáticos trabalharam com ele, John Napier é considerado o inventor dos Logaritmos. Sua primeira abordagem foi em 1614 num texto intitulado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” (Descrição da maravilhosa Lei dos Logaritmos). O trabalho contém uma tábua que dá os Logaritmos dos senos de ângulos para minutos sucessivos de arco. Esse trabalho despertou interesse imediato e amplo, e no ano seguinte da publicação, Henry Briggs, professor de Geometria do Gresham College de Londres e posteriormente professor de Oxford, viajou ao encontro de Napier para dar o tributo de seu reconhecimento ao grande inventor dos Logaritmos. 

Breve História dos Logaritmos

Para facilitar o trabalho de Napier, que muitas vezes utilizou bases inadequadas, Briggs propôs a ele a mudança dos Logaritmos para uma base decimal, ou seja, a utilização da potência de dez. Ambos concordaram que o Logaritmo de 1 fosse 0 (log1 = 0) e o Logaritmo de 10 (iniciando com log 10 = 1) fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os Logaritmos Briggsianos ou Comuns, que são os Logaritmos que usamos hoje. Posteriormente, Napier e Briggs elaboraram uma tábua de Logaritmos, que é de extrema utilidade, mas com o avanço da tecnologia (com calculadoras e computadores) hoje não é muito utilizada, mas os estudos dos Logaritmos são caracterizados pela importância em diversas áreas do conhecimento humano. 

Breve História dos Logaritmos

Apesar do desuso da Tábua de Logaritmos, a Função Logarítmica é utilizada nas variações Exponencial e Logarítmica, que são partes vitais da natureza e da análise. Então, um estudo das propriedades da Função Logarítmica e sua inversa, a Função Exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da Matemática. 

Recentemente, no século XX, Claude Elwood Shannon desenvolveu a “Teoria da Informação” utilizando Logaritmo, assumindo assim um papel fundamental constituindo uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia. 

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10 exercícios sobre Frações

- 3 de setembro de 2016 2 comentários
Nesta postagem, segue uma atividade de Matemática com 10 exercícios sobre Frações. Atividade simples, que passei para os alunos na escola em que trabalho. Apesar de simples, sempre é bom treinar, no que muitas vezes, mesmo pensando que não, ainda temos dúvidas ou confundimos algo. Esta atividade serve também para você aplicar para seus alunos, filhos, sobrinhos, entre outros. 

10 exercícios sobre Frações


Segue a atividade com 10 questões (e suas respostas abaixo) em arquivo PDF para salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar. 

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A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia

- 21 de agosto de 2016 2 comentários
Continuando os artigos sobre a Matemática no Continente Africano, veremos um pouco sobre o Sona: desenhos matemáticos na areia. 

  A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Uma cultura de longa tradição (alguns dizem que está em extinção), originária do povo Tshokwe, do nordeste de Angola, onde pessoas faziam desenhos matemáticos na areia, chamados de Sona (no singular, um lusona). É conhecido também no leste de Angola e nas fronteiras do país, como a República Democrática do Congo e na Zâmbia. Conheceremos um pouco dessas figuras geométricas, representando também outros conteúdos de Matemática, como Análise Combinatória, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC). Lembrando que esses conceitos eram utilizados intuitivamente, sem o conhecimento de fórmulas.

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Era necessário limpar e alisar o solo com a mão, o narrador desenhava, com a ponta dos dedos, uma grade de pontos, cuidando para que estivessem regularmente espaçados. Em seguida, em volta dos pontos, traçava linhas retas e curvas, tanto para a direita quanto para a esquerda, com uma inclinação de 45 graus, mantendo equidistantes dos pontos, servindo de base para a sua história. As linhas são sempre fechadas, traçadas sem o narrador levantar o dedo da areia, seguindo regras específicas de acordo com a tradição. Os sona são uma forma de escrita, onde um narrador ou conta uma história ou uma realidade da vida nos quais ilustram provérbios, contos, fábulas, jogos, mitos, animais, cantos, leis e enigmas, desempenhando um papel importante na transmissão do saber às novas gerações. Diversos sona evocavam o mukanda, o rito de passagem dos meninos à idade adulta. O sona é uma representação simbólica da evolução da narrativa. 

  A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


É possível estudar os sona por meio de Matemática de gráficos, redes definidas por pontos (vértices) ligados por linhas e arestas. Nesses objetos, o comprimento e a curvatura das arestas não importam: dois conjuntos de vértices idênticos podem ser ligados da mesma maneira.

  A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia



Cálculos matemáticos


Agora, veremos alguns exemplos com cálculos matemáticos nos sona.


O Número de Fios


Os sona que se assemelham a tramas de tecelagem estão entre os mais simples. Entre eles, alguns são compostos de um único fio, que contorna cada ponto da grade, antes de reencontrar seu ponto inicial; outros exigem diversos fios. 

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


No primeiro exemplo, usando um sistema de coordenadas para marcar os pontos das diagonais da grade, um fio que parte do ponto (a, 0) atinge o ponto (n + 1, n + 1 – a), em seguida o ponto (n + 1 – a, n + 1) e finalmente o ponto (0, a), antes de reencontrar o ponto inicial. O fio passa pelos pontos (2,0), (5,3), (3,5) e (0,2). Cada fio é desviado três vezes antes de voltar a seu ponto inicial e percorre quatro diagonais: no total, é preciso desenhar n fios (retângulos) para percorrer todas as diagonais da grade. Uma grade quadrada de n pontos de lado requer, portanto, n fios. Em seguida, ao decompor em quadrados um dado motivo de tecelagem, podemos demonstrar que o número de fios exigidos para o motivo inteiro é igual ao do motivo restante, ou ao número de linhas do último quadrado, quando a última grade é quadrada. 

Um motivo de três linhas e quatro colunas, por exemplo, se decompõe em uma grade quadrada de nove pontos e uma coluna de três pontos, que um único fio percorre. Assim, no motivo inteiro, um único fio basta para desenhar o lusona inteiro. 

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Em contrapartida, para um motivo de duas linhas e quatro colunas, pomos de lado um quadrado de dois pontos e deixamos um quadrado idêntico: dois fios são necessários para desenhar um motivo de tecelagem em tal grade quadrada de quatro pontos; portanto, dois fios também são necessários para o motivo inteiro. 

Esse processo é semelhante ao cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC). 


O Ventre de Leão


Outro exemplo, é o sona da família do ventre de leão. Eles correspondem ao trajeto de um raio luminoso num perímetro circunscrito, no qual inserimos espelhos horizontais de duas faces espelhadas, entre os pontos de colunas de fileira par. Para determinar o número de fios necessários para tal motivo, analisamos sua evolução na medida em que eles passam de uma coluna à seguinte. 

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Para fazer isso, numeramos os segmentos de fios imediatamente após as intersecções, por exemplo de um a seis, para uma grade de três linhas e cinco colunas. A transposição de segmentos após uma coluna sem espelho, denominada A, transforma a ordem 123456 em 415263. A transposição após uma coluna com espelhos, denominada B, transforma a ordem 123456 em 214365. O conjunto de transposições sofridas pelos segmentos até a penúltima coluna da grade forma, assim, uma “palavra” composta de A e de B, como BAB, em nosso exemplo.

A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia


Assim, para todo ventre de leão de m linhas e de n colunas, podemos escrever uma palavra composta de B e de A em alternância, uma vez que espelhos são colocados na metade das colunas, alternadamente. Essas palavras se simplificam ao reconhecer, por exemplo, que duas transposições sucessivas de tipo B não alteram a ordem de segmentos. Do mesmo modo, 2m transposições consecutivas de tipo A se anulam. Além disso, demonstramos que BA = A2m-1B. No final, cada palavra simplificada obtida é da forma AjBk, onde k é 0 ou 1 e j é positivo. 

A palavra de um motivo da família do ventre do leão é BABABA... ou B(AB)k. Ao analisar os diferentes valores de k, demonstramos que tal motivo de m linhas e n colunas precisa de um único fio quando (n – 1) é um múltiplo de quatro, se não m fios. 


Algumas histórias contadas por meio dos Sona



A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia

Sambalu, o coelho (posicionado no ponto B), descobre uma mina de sal-gema (ponto A). Imediatamente, o leão (ponto C), a onça (ponto D) e a hiena (ponto E) reclamam a posse, reivindicando o direito do mais forte. O coelho, afirmando o inviolável direito do mais fraco, rapidamente faz uma vedação para isolar a mina dos usurpadores.

Como se pode verificar no desenho, só é possível chegar ao ponto A (a "mina de sal-gema") a partir do ponto B (o "coelho") sem atravessar a linha sinuosa (a "vedação"). Os outros pontos (o "leão", a "onça" e a "hiena") estão separados de A pela linha.


A Matemática no Continente Africano – Sona: desenhos matemáticos na areia

A figura que está em cima é Deus, à esquerda está o Sol, à direita está a Lua e em baixo está um ser humano. Este lusona representa o caminho para Deus.

Um dia, o Sol foi visitar Deus. Deus deu um galo ao Sol e disse: “Volta cá amanhã de manhã antes de partires”. No dia seguinte de manhã, o galo cantou e acordou o Sol. Quando o Sol se apresentou diante de Deus, este disse-lhe: “Tu não comeste o galo que te dei para o jantar. Podes ficar com o galo, mas tens que regressar todos os dias.” É por isso que o Sol dá a volta à Terra e reaparece todas as manhãs.

A Lua também foi visitar Deus e recebeu um galo de presente. No dia seguinte de manhã, o galo cantou e acordou a Lua. Mais uma vez, Deus disse: “Tu não comeste o galo que te dei para o jantar. Podes ficar com o galo, mas tens que regressar a cada vinte e oito dias.” É por isso que o ciclo da Lua dura vinte e oito dias.

O ser humano também foi visitar Deus e recebeu um galo de presente. Mas o humano estava com fome depois de ter feito uma tão longa viagem e comeu parte do galo ao jantar. Na manhã seguinte, o Sol já ia alto no céu quando o humano acordou, comeu o resto do galo e apressou-se a visitar Deus. Deus disse-lhe: “Eu não ouvi o galo cantar esta manhã.” O humano respondeu-lhe a medo: “Eu estava com fome e comi-o.” “Está bem,” disse Deus, “mas escuta: tu sabes que o Sol e a Lua estiveram aqui, mas nenhum deles matou o galo que lhes dei. É por isso que eles nunca morrem. Mas tu mataste o teu, e por isso deves também morrer. Mas quando morreres deves regressar aqui.”

E assim acontece.


Obs.: Conheça mais histórias com os Sona, no site: http://amateriadotempo.blogspot.com.br/2011/05/desenhos-na-areia-em-africa.html


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Grande abraço e até a próxima!


Bibliografia

Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial – Etnomatemática



Exercícios básicos de Geometria

- 20 de agosto de 2016 Sem comentários
Em mais uma atividade da escola em que trabalho, visando conhecer a capacidade leitora e escritora dos alunos, segue uma lista de exercícios básicos de Geometria. 

Exercícios básicos de Geometria


São questões alternativas, sobre a teoria dos conceitos mais básicos para o conhecimento da Geometria, como ponto, reta, plano, ângulos, tipos de triângulos e quadriláteros. 

A atividade está em arquivo PDF, para você salvar, imprimir e estudar em qualquer lugar. Você também pode aplicar esses exercícios com seus alunos e familiares. 

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Existe Matemática na Capoeira?

- 13 de agosto de 2016 Sem comentários
Pesquisando ainda sobre a Matemática no Continente Africano, encontrei um tema de origem africana e que faz parte da cultura brasileira: A Capoeira. E como dizemos que a Matemática está em todos os lugares, existe Matemática na Capoeira?

Existe Matemática na Capoeira?


Lembrando aos amigos, que, apesar das origens, a capoeira não surgiu no continente africano. É uma luta brasileira, na qual foi inventada por escravos no século XVII. A capoeira é uma luta que se diferencia das demais artes marciais pela musicalidade. Os integrantes, além de lutar e jogar, também cantam e tocam instrumentos típicos. Podemos dizer que a capoeira é uma expressão cultural brasileira que mistura arte marcial, esporte, música e cultura popular. Seus golpes são caracterizados por movimentos ágeis com chutes, rasteiras, cabeçadas, joelhadas e cotoveladas, com acrobacias em solo ou aéreas.

Existe Matemática na Capoeira?


Na época da escravidão no Brasil, os escravos sofriam práticas violentas em forma de castigo pelos senhores de engenho. Alguns grupos de escravos começaram a fugir, estabelecendo assentamentos em algumas áreas, chamadas de quilombos. Para se defender dos ataques, e como as lutas eram proibidas, começaram a mesclar os golpes com os movimentos das danças africanas, fazendo assim uma arte marcial disfarçada de dança. Muitas vezes, as lutas eram feitas em campos com pequenos arbustos, que na época eram chamados de capoeira ou capoeirão, originando o nome dessa arte marcial. Mesmo juntando dança e luta, a capoeira ficou proibida no Brasil, pois era vista como uma prática subversiva e violenta. Havia muita repressão aos praticantes dessa arte. Em 1930, Getúlio Vargas, após apresentação do mestre Bimba (um dos ícones da capoeira no Brasil), gostou, permitiu sua prática e a transformou em esporte nacional brasileiro. Em 2014, a UNESCO (Organização das Nações Unidas para Educação, Ciência e Cultura), declarou a roda de capoeira como patrimônio imaterial da humanidade, reconhecendo a capoeira como luta e resistência dos negros brasileiros contra a escravidão durante os períodos colonial e imperial no Brasil. No dia 03 de agosto, é comemorado o Dia do Capoeirista. Lembrando que o ritmo da capoeira, introduzido pelos escravos brasileiros, tem origem de uma cultura angolana, conhecida aqui como Capoeira de Angola. 

Afinal, existe Matemática na Capoeira?


Como foi dito no começo deste artigo, encontramos Matemática em todos os lugares. Sabemos que a Matemática está nas construções, nos objetos, roupas, calçados, em toda a ciência e tecnologia, nas artes, na música, assim também em ações que juntam espaço e tempo, como nas danças e lutas. Então, se a capoeira mescla a dança e a luta, podemos afirmar que existe Matemática na capoeira.

Existe Matemática na Capoeira?


Na capoeira, observamos a ação dos corpos em uma projeção constante, com um espaço tridimensional, desenhando figuras geométricas que se transformam numa sequência rápida à medida que os braços e pernas dos combatentes constroem não somente numa Geometria Plana, mas também uma Geometria Espacial, para assim tentar confundir o adversário com a ocupação de todos os espaços, buscando um ponto frágil para poder aplicar um golpe certeiro e desequilibrador. Como não podia ser reconhecida pelos senhores de engenho como um instrumento de resistência, e por isso foi disfarçada de dança, a capoeira ganhou uma cadência chamada ginga, que são movimentos de pernas que formam um triângulo imaginário no chão, criando várias possibilidades para cada uma das duas posições base (direita e esquerda), de onde todos os golpes são planejados e executados, que, ao som do berimbau, o corpo se enreda num tempo e espaço que vibra e canta no corpo. 

Na música cantada na abertura e encerramento da roda; nas palmas; nos toques de berimbaus, pandeiros e agogôs; a Matemática também está inserida, fazendo as marcações dos ritmos que serão propostos em todo o contexto da capoeira. 

Um cilindro imaginário envolve os lutadores; as pessoas formam um círculo para assistir a luta; os chutes frontais, do tipo benção e martelo, tem uma trajetória de 180º. Na meia lua, o compasso gira 360º no eixo do corpo. Os saltos e rodopios no ar desafiam a gravidade e os limites do corpo.

Existe Matemática na Capoeira?


A Matemática também pode ser encontrada em diversas outras expressões culturais de matriz africana, integrando mitos, religiosidade, corpo, e maneiras particulares de se relacionar com o tempo e espaço.

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Conheça o projeto Reforço Olímpico

- 6 de agosto de 2016 Sem comentários
Idealizado pela página Obmepeiros (página para discussão sobre a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP), do Facebook, surge mais uma oportunidade gratuita e de qualidade para quem quer estudar Matemática: O Projeto Reforço Olímpico.

Conheça o projeto Reforço Olímpico

Lembrando que a página Obmepeiros já conta com a Olimpíada Brasileira de Matemática Virtual – OBMV, que este ano realizou sua segunda edição. A OBMV visa preparar os alunos de escolas públicas e particulares para a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP e para a Olimpíada Brasileira de Matemática – OBM. Esse novo projeto será um complemento da OBMV e servirá para preparar qualquer pessoa que tiver interesse de se aprofundar em Matemática além do nível escolar. Ele será dividido em aproximadamente 115 semanas (mais de 2 anos) começando desde o básico da Matemática até a mais avançada Matemática olímpica. Será um processo gradual que, com empenho do aluno, em 2 anos ele estará totalmente preparado para olimpíadas científicas no ramo da Matemática.

“A cada semana será postado um plano de estudos, incluindo videoaulas completas de conteúdo, vídeo aulas de resoluções de exercícios e materiais em PDF. Tudo pertencente ao Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), a única coisa que faremos será organiza-los e guia-los”, diz Renan Oliveira Proença, aluno premiado da OBMEP que é coordenador e um dos idealizadores dos projetos Obmepeiros, OBMV e Reforço Olímpico. Também, de acordo com Renan, “neste primeiro momento postaremos apenas conteúdo de Matemática, mas talvez em 2017 acrescentaremos outras matérias como Física e Química”. 

Conheça o projeto Reforço Olímpico

Aproveite essa grande oportunidade para estudar, lembrando mais uma vez que é de graça e que as aulas pertencem ao IMPA, valorizando ainda mais o projeto. 

Para acessar o site, clique em obmepeiros.wix.com/obmepeiros, e em caso de dúvidas, entre em contato com o Renan por meio da página Obmepeiros: https://www.facebook.com/obmepeiros/.


Grande abraço e bons estudos!


A Matemática no Continente Africano – Os Fractais

- 30 de julho de 2016 Sem comentários
Continuando a série de artigos sobre a Matemática no Continente Africano, agora falaremos sobre os Fractais Africanos. Utilizados na arte, religião, arquitetura e urbanismo, os fractais fazem parte da cultura africana.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais nas aldeias do Continente Africano


Afinal, o que são Fractais?


Falar sobre Fractais é também falar sobre Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos. Considere que, o bater de asas de uma simples borboleta possa influenciar no curso natural das coisas, e assim provocar um tufão do outro lado do mundo. Esse exemplo, chamado por Edward Lorenz em 1963, de Efeito Borboleta, é um dos diversos exemplos que podemos falar sobre Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, nos quais são encontrados em diversas áreas das ciências exatas, médicas, biológicas, humanas, e até na natureza.

Teoria do Caos é o nome dado a uma importante descoberta sobre a teoria dos sistemas dinâmicos, que é a Matemática dos sistemas que se alteram ao longo do tempo de acordo com regras específicas. O nome se refere a um tipo de comportamento surpreendente chamado de caos determinístico. Um sistema é chamado de determinístico se seu estado presente determinar inteiramente seu comportamento futuro. O caos determinístico é abreviado para “caos”, sendo um comportamento aleatório em um sistema dinâmico determinístico.

Com a descoberta de que o mundo não é descrito somente com a Geometria Euclidiana (baseada nos postulados do livro “Os Elementos”, de Euclides de Alexandria), as geometrias não euclidianas introduziram novos objetos que representam certos fenômenos do universo, como a Geometria Hiperbólica, a Geometria Esférica e a Geometria Fractal.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Exemplos de Fractais 

A Geometria Fractal, introduzida por Benoit Mandelbrot em 1975, estuda os subconjuntos complexos de espaços métricos, onde os objetos estudados são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele mesmo, no qual o objeto é composto por partes reduzidas dele próprio. O termo Fractal surgiu para denominar uma classe especial de curvas definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais, com uma estrutura geométrica ou física tendo uma forma irregular ou fragmentada em todas as escalas de medição. De acordo com Mandelbrot, o todo forma a parte e a parte reflete o todo, assim como, o todo reflete a parte. Fractais são figuras geométricas produzidas por meio de equações matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade, contendo dentro de si, cópias menores deles mesmos, e assim sucessivamente. Apesar de parecer aleatório, os Fractais e a Teoria do Caos obedecem certas regras, como o fluxo dos rios, entre outros fenômenos da natureza, possuindo uma dimensão fracionária. Podemos encontrar os Fractais na Natureza (árvores, rios, brócolis, montanhas, nuvens), na Medicina (estrutura do pulmão e no sistema cardiovascular), na Arte (pinturas e músicas), na Computação Gráfica (animações digitais), na Economia (comportamento da Bolsa de Valores), entre outros. 

Um clássico exemplo de fractal é demonstrado na Curva de Koch, de Hege Von Koch, relacionada ao floco de neve de Koch. Cada segmento em linha reta é substituído, a cada iteração (processo de repetir o mesmo passo ou uma série de passos), por quatro segmentos de um terço de seu tamanho, de modo que o comprimento da curva aumenta.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais


Fractais Africanos 


Como vimos no início deste artigo, os Fractais fazem parte da cultura africana.


A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na arquitetura e urbanismo africanos

O Fractal é muito utilizado na arquitetura e urbanismo, como na aldeia de Logone Birni, em Camarões. Ao lado do rio Níger, o povo “Kotoko” construiu a aldeia a partir de um motivo de base retangular, partindo do palácio real por meio de um motivo fractal construído pela repetição sobre uma fração de lados de um retângulo inicial, construindo retângulos de proporções idênticas. Em seguida, novamente sobre os quatro retângulos, 16 outros são formados. O resultado é uma “grade” composta pelos lados de 20 retângulos, sobre a qual se pode sobrepor a planta do palácio real. Da entrada do palácio à sala do trono, o visitante percorre uma espiral retangular, chamada “caminho de luz”, cujos lados diminuem regularmente após cada ângulo. À medida que progride (em cada alteração de escala), o visitante adota uma linguagem mais polida e respeitosa. Uma vez na sala do trono, ele já não está usando seus calçados, e seu linguajar é particularmente preciso e codificado.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Aldeia Logone Birni, em Camarões

Também em Camarões, mas nas montanhas Mandra, vivem diversas etnias que se auto referem como “Kirdi”. Utilizam o design fractal “Mokoulek”, com pequenos silos circulares e celeiros circulares maiores em espiral dentre de três grandes recintos de pedra, que fazem outro espiral a partir de um ponto central que é a parte quadrada. Esse design não é uma somente uma questão de adicionar celeiros de forma aleatória, mas sim “a expansão de um processo quantitativo e deliberado”, no qual existe um tipo de algoritmo que determina como o sistema expande para acomodar o crescimento, convertendo a medida do volume em números de silos e estes arranjados em espirais, determinado pelo conhecimento do rendimento agrícola.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Aldeias da etnia Kirdi, em Camarões 

Encontramos também, fractais na estrutura do povo “Ba-ila”, na Zâmbia. O motivo inicial é uma curva circular não fechada, com enormes anéis, na qual se inscreve um segmento retilíneo. Ele é cortado em “zonas ativas”, que serão substituídas por um motivo idêntico ao inicial, mas mais reduzido. A mesma operação é repetida em cada uma das zonas ativas do novo modelo. O resultado dá conta da estrutura global da aldeia. Cada extensão desses anéis, formando-se os círculos, são as casas de família (na parte de trás de cada casa é o altar doméstico). Próximo ao portão principal são os locais de armazenamento de pequeno porte, movendo-se em torno do anel, formando assim habitações progressivamente maiores, até chegar na maior que é “a casa do pai”, em frente ao portão. Na “casa do pai”, mora o chefe da tribo (tido como o pai da comunidade), descrito pela palavra “kulela”, que significa “curandeiro e aquele que acalenta”, com uma relação ecoada por todos e os laços espirituais em todas as escalas, e é estruturalmente mapeado através da arquitetura auto similar.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Aldeia Bai-la, na Zâmbia

Assim como nas construções, os fractais são encontrados nas religiões africanas para mostrar deuses com o maior e menor poder espiritual. Os deuses que representam padrões cíclicos ordeiros (como Nummo, em Mali e Dan, em Benin) tem o menor poder, e os deuses associados com o poder da vida (como Nyame, em Gana e Mawu, em Benin) tem o maior poder.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Forma cíclica dos deuses africanos 

Os fractais também são vistos em tecidos, esculturas, máscaras, ícones e cosmologias religiosas africanas. Em seus cobertores, há uma interessante história, pois os que são tecidos para casamentos dizem ter uma energia espiritual tecida em cada padrão e que cada iteração sucessiva mostra um aumento nesta energia. Os tecelões acreditam que, se o trabalho parar no meio, onde o padrão é mais denso, com maior energia espiritual, haverá risco de morte. Assim, o casal precisa manter os tecelões acordados até a finalização do cobertor, dando-lhes comida e nozes de kola.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Cobertor Fractal 

Muitos dos famosos penteados trançados africanos utilizam a técnica dos fractais para criar belos e intrincados penteados, trançando iterações.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais nos penteados trançados 

Na Etiópia, os fractais podem ser vistos em cruzamentos de ruas (com uma iteração três vezes) e também nas igrejas de Lalibela.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na arte da Etiópia 

Finalizando, os fractais podem até mesmo ser ouvidos na poli rítmica africana, com ritmos simultâneos semelhantes em diferentes escalas.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na música poli rítmica africana

Obs.: As fontes principais deste artigo foram a Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial - Etnomatemática e o site O Grande Jardim


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Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar

- 20 de julho de 2016 Sem comentários
Amigos, com muito prazer, recomendo este livro, que particularmente utilizo em sala de aula desde o ano de 2013: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar, com autoria do meu amigo e professor de Matemática, Gilberto Apolonio Barbosa. O livro é indicado para professores, alunos e pessoas que gostam de Matemática. 

Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar


Gilberto é formado com Licenciatura em Matemática, e também em Administração de Empresas, com pós graduação em Psicopedagogia. Foi condecorado com a Ordem do Mérito Educacional pela Câmara dos Vereadores na cidade de Itaú de Minas (MG), devido a relevância dos trabalhos prestados como professor de Matemática na rede municipal e pelo CHAME – Centro de Habilitação de Menores, onde desempenhava atividades voluntárias elaborando diversos cursos nas áreas de relacionamento familiar, liderança e Administração de Empresas. Atualmente, é professor de Matemática na rede municipal de ensino na cidade de São Paulo. 

De acordo com o autor: 

“O objetivo desse trabalho não é ensinar Matemática através da encantadora forma da poesia, nem tampouco o de propor aos nobres profissionais docentes uma nova forma de fazê-lo. Propor isso seria simplório ou até mesmo leviano. Mesmo não tendo tais alvos, em nada é diminuída a sua importância.

Mas então ao que atém tal trabalho? 

Talvez possamos ampliar a porta de entrada ao mundo da Matemática com tal iniciativa. Ou, quem sabe, impedir que ela se estreite ainda mais. É possível que para algumas pessoas, desperte até um grande interesse pelo aprendizado da Matemática. Seria presunção pensar assim? 

Este trabalho tenta associar de maneira harmônica os diversos componentes e quiçá as diversas Ciências. Acreditamos que o uso de tais redações, associadas ao forte comprometimento dos profissionais docentes, poderá trazer frutos ainda melhores à atividade do ensino. Quem sabe estes singelos textos, como abertura do ensino de determinados tópicos, possam representar apenas uma cerejinha no enorme bolo que o dedicado profissional de educação tenta construir com cada um de seus famintos alunos.”

Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar


Coletânea de poesias, permeadas por textos em prosa selecionados em capítulos pelos seguintes assuntos:

Uma questão de valores - Nesse capítulo a tônica são os valores pessoais necessários ao bom convívio social dentro e fora do ambiente escolar.

Matemática em Versos - Poesias pedagogicamente elaboradas que discorrem sobre vários conceitos matemáticos.

Reincluindo a Matemática - Manifestações em poesia e prosa que relacionam a Matemática aos demais componentes curriculares do ensino básico.

Letras para decorar - Neste capítulo, textos com possibilidade de aplicações musicais ajudam a decorar conceitos matemáticos. 

Tudo nesse livro visa tornar acessível a Matemática e a sua relação interdisciplinar com os outros conteúdos programáticos.

Conheça o livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar


Você pode encontrar o livro na Livraria e loja virtual Asabeça, pelo site www.asabeca.com.br e também pode entar em contato com o autor Gilberto Apolonio em sua página no Facebook

Livro: Matemática em Verso e Prosa – Uma Proposta Interdisciplinar - Gilberto Apolonio Barbosa - Scortecci Editora - Matemática - Formato 14 x 21 cm - 1ª edição - 2012 - 80 páginas.


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Grande abraço e uma excelente leitura!