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Artigos na categoria: "História da Matemática"

Histórias e conceitos do Quadrado Mágico

- 12 de novembro de 2017 Sem comentários
Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de lado n, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. Esses quadrados são bem semelhantes aos trabalhos com matrizes. 


Existem diversas versões sobre a origem dos quadrados mágicos, mas a maior evidência é que tenha vindo da China ou Índia, por volta de 3000. O nome quadrado mágico foi dado pois na época achava-se que esses tipos de quadrados tivessem poderes especiais, fazendo com que muitos usassem gravados em metal ou em pedra, em forma de amuletos ou talismãs. 

No século XV, os quadrados mágicos ficaram conhecidos na Europa a partir da obra “Tratado de Quadrados Mágicos” do escritor bizantino Manuel Moschopoulos. Na época, eram relacionados com a alquimia e a astrologia, e um quadrado mágico gravado numa placa de prata era usado como amuleto contra a peste. Em 1510, aproximadamente, Heinrich Cornelius Agrippa escreveu “De Occulta Philosophia”, que falava de quadrados mágicos de ordem 3 até a ordem 9 que eram associados aos planetas astrológicos. Esses tipos de quadrados mágicos, sua história e aplicações podem ser vistos no trabalho do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra.

Existem diversos tipos de quadrados mágicos, e o mais conhecido é o quadrado de ordem 3. Coloca-se números de 1 a 9 sem repetição, no quais somam-se cada linha, coluna e diagonal, com resultado 15.

Exemplos: 



Existem algumas respostas para esse tipo de quadrado mágico, portanto, os números pares sempre permanecem nas pontas, não podendo estar na mesma linha os números 4 e 6. 


Pode-se trabalhar também outros quadrados mágicos, sendo esse exemplo o mais simples.

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Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes

- 9 de novembro de 2017 Sem comentários
Determinante de uma matriz quadrada é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras. Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à Álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, conforme trabalhado nos conteúdos de determinantes e sistemas lineares. Neste artigo, vamos conhecer um pouco das Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes.
Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes

Os trabalhos com matrizes e determinantes iniciaram no século II a.C. Os babilônios estudaram problemas que tiveram como soluções sistemas lineares de duas variáveis, no qual estão preservados em tabletes de argila. Os chineses tiveram grandes contribuições, mostrando os primeiros exemplos com matrizes no texto “Nove capítulos da arte Matemática”. Apesar de seu início na antiguidade, os trabalhos com matrizes tiveram contribuições de Josefh Louis Lagrange, em 1790 (trazendo o primeiro uso implícito da noção de matriz), mas foram retomados somente no século XIX (considerado um dos períodos mais revolucionários em termos de avanços matemáticos), com Augustin-Louis Cauchy em 1826, dando o nome de tableau (tabela). Diversos trabalhos foram desenvolvidos pelos matemáticos ingleses Arthur Cayley e James Joseph Sylvester. Foi Sylvester, em 1850, que colocou o nome matriz (local onde algo se gera ou cria), no qual via como “um bloco retangular de termos”. Foi Cayley, com sua famosa “Memoir on the Theory of Matrices”, em 1858, que divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade, desmistificando o conceito de matrizes sendo um mero ingrediente de determinantes, passando a ter vida própria. 

As matrizes possuem grande importância na Matemática e no cotidiano do ser humano, utilizadas nas áreas como Economia, Engenharia, Física, Biologia, Computação, entre outros. Um exemplo prático são os pixels da tela de um computador, tomando como exemplo uma tela com 640 x 480 pixels. Esses números indicam que a tela é formada por uma tabela com 307.200 pontos (área da tela), ou pixels. Essa tabela tem 480 pontos de altura e 640 pontos de largura. Para localizar um ponto nessa tabela, você pode dar como endereço um par (a,b), onde A seria a linha e B a coluna. As matrizes organizam os números em forma de tabela, e permitem localizar um número por meio de um par (a,b) tal como na tela do computador, guardando em cada posição a sua cor. Numa tela com 256 cores, cada pixel guarda um número entre zero e 255, dando 256 possibilidades, ou 2^8 (2 elevado a 8). Esse exemplo também é válido para telas de televisores. 

Em boletins escolares, o uso de matrizes também é normal, conforme exemplo abaixo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:



 Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9

           
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Histórias e Aplicações de Matrizes e Determinantes

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.

Outras aplicações práticas de matrizes estão detalhadas no trabalho acadêmico “Algumas aplicações de matrizes”, da Universidade Federal de Santa Catarina. Nesse artigo, além de explicações, operações e propriedades de matrizes, há algumas aplicações práticas como o uso de matrizes na criptografia, em modelos populacionais e na “Cadeia de Markov”, um processo no qual a probabilidade de um sistema estar em determinado estado em um dado período de observação depende apenas do estado no período de observação imediatamente anterior.

Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Carley, lembrando que antes dele, as matrizes eram ingredientes das determinantes. A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz, em 1693, na criação da Teoria dos Determinantes, visando o estudo de sistemas de equações lineares, embora considerações semelhantes já tivessem sido feitas dez anos antes pelo japonês Seki Kowa (considerado o maior matemático japonês do século XVII). Em 1750, o matemático e astrônomo suíço Gabriel Cramer publicou a solução de sistemas lineares, por meio da famosa “Regra de Cramer”, na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin, mas com grande contribuição de Cramer. O francês Étienne Bézout sistematizou, em 1764, o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. Outro francês, Alexandre Vandermonde, em 1771, empreendeu a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares, embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante Teorema de Laplace foi demonstrado no ano seguinte pelo francês Pierre Laplace. 

O termo determinante, com o atual sentido, surgiu em 1812 num trabalho de Augustin-Louis Cauchy, no qual sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (apesar da atual com duas barras verticais aos lados do quadrado de números só surgiu em 1841 com Arthur Cayley) e demonstrou o teorema da multiplicação de determinantes, após a primeira demonstração, meses antes, de Jacques Philippe Marie Binet.

Um dos matemáticos que mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes, além de Cayley, foi o alemão Carl Gustav Jakob Jacobi, conhecido como “o grande alegorista”. Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje em dia.


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Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano

- 8 de junho de 2017 Sem comentários
Com um misto de História da Matemática e da Educação Matemática, História da Humanidade, um grande acervo sobre a África (com alguns de seus diversos sistemas de numeração, a Matemática no antigo Egito e seus papiros, e a utilização da Matemática em sua cultura) e estudos sobre o Programa Etnomatemática, apresentamos a vocês, a Etnomatemática – A Matemática no Continente Africano. 

Em nosso blog, já temo artigo sobre o Programa Etnomatemática e alguns sobre a Matemática no Continente Africano. Agora, disponibilizo as imagens dos slides em Power Point de uma apresentação que fiz para escolas, em parceria com um grupo de estudos étnico-raciais da Universidade de São Paulo (USP), com os temas abordados acima.

Segue abaixo as imagens dos slides, e no final de cada tópico abordado, tem o endereço com o artigo completo em nosso blog. 


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