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A Matemática no Continente Africano – Os Fractais

Postado por Jefferson Santos - 30 de julho de 2016 Sem comentários

Equação de primeiro grau de forma fácil!
Continuando a série de artigos sobre a Matemática no Continente Africano, agora falaremos sobre os Fractais Africanos. Utilizados na arte, religião, arquitetura e urbanismo, os fractais fazem parte da cultura africana.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais nas aldeias do Continente Africano


Afinal, o que são Fractais?


Falar sobre Fractais é também falar sobre Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos. Considere que, o bater de asas de uma simples borboleta possa influenciar no curso natural das coisas, e assim provocar um tufão do outro lado do mundo. Esse exemplo, chamado por Edward Lorenz em 1963, de Efeito Borboleta, é um dos diversos exemplos que podemos falar sobre Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, nos quais são encontrados em diversas áreas das ciências exatas, médicas, biológicas, humanas, e até na natureza.

Teoria do Caos é o nome dado a uma importante descoberta sobre a teoria dos sistemas dinâmicos, que é a Matemática dos sistemas que se alteram ao longo do tempo de acordo com regras específicas. O nome se refere a um tipo de comportamento surpreendente chamado de caos determinístico. Um sistema é chamado de determinístico se seu estado presente determinar inteiramente seu comportamento futuro. O caos determinístico é abreviado para “caos”, sendo um comportamento aleatório em um sistema dinâmico determinístico.

Com a descoberta de que o mundo não é descrito somente com a Geometria Euclidiana (baseada nos postulados do livro “Os Elementos”, de Euclides de Alexandria), as geometrias não euclidianas introduziram novos objetos que representam certos fenômenos do universo, como a Geometria Hiperbólica, a Geometria Esférica e a Geometria Fractal.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Exemplos de Fractais 

A Geometria Fractal, introduzida por Benoit Mandelbrot em 1975, estuda os subconjuntos complexos de espaços métricos, onde os objetos estudados são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele mesmo, no qual o objeto é composto por partes reduzidas dele próprio. O termo Fractal surgiu para denominar uma classe especial de curvas definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais, com uma estrutura geométrica ou física tendo uma forma irregular ou fragmentada em todas as escalas de medição. De acordo com Mandelbrot, o todo forma a parte e a parte reflete o todo, assim como, o todo reflete a parte. Fractais são figuras geométricas produzidas por meio de equações matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade, contendo dentro de si, cópias menores deles mesmos, e assim sucessivamente. Apesar de parecer aleatório, os Fractais e a Teoria do Caos obedecem certas regras, como o fluxo dos rios, entre outros fenômenos da natureza, possuindo uma dimensão fracionária. Podemos encontrar os Fractais na Natureza (árvores, rios, brócolis, montanhas, nuvens), na Medicina (estrutura do pulmão e no sistema cardiovascular), na Arte (pinturas e músicas), na Computação Gráfica (animações digitais), na Economia (comportamento da Bolsa de Valores), entre outros. 

Um clássico exemplo de fractal é demonstrado na Curva de Koch, de Hege Von Koch, relacionada ao floco de neve de Koch. Cada segmento em linha reta é substituído, a cada iteração (processo de repetir o mesmo passo ou uma série de passos), por quatro segmentos de um terço de seu tamanho, de modo que o comprimento da curva aumenta.

A Matemática no Continente Africano – Os Fractais


Fractais Africanos 


Como vimos no início deste artigo, os Fractais fazem parte da cultura africana.


A Matemática no Continente Africano – Os Fractais
Fractais na arquitetura e urbanismo africanos

O Fractal é muito utilizado na arquitetura e urbanismo, como na aldeia de Logone Birni, em Camarões. Ao lado do rio Níger, o povo “Kotoko” construiu a aldeia a partir de um motivo de base retangular, partindo do palácio real por meio de um motivo fractal construído pela repetição sobre uma fração de lados de um retângulo inicial, construindo retângulos de proporções idênticas. Em seguida, novamente sobre os quatro retângulos, 16 outros são formados. O resultado é uma “grade” composta pelos lados de 20 retângulos, sobre a qual se pode sobrepor a planta do palácio real. Da entrada do palácio à sala do trono, o visitante percorre uma espiral retangular, chamada “caminho de luz”, cujos lados diminuem regularmente após cada ângulo. À medida que progride (em cada alteração de escala), o visitante adota uma linguagem mais polida e respeitosa. Uma vez na sala do trono, ele já não está usando seus calçados, e seu linguajar é particularmente preciso e codificado.

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Aldeia Logone Birni, em Camarões

Também em Camarões, mas nas montanhas Mandra, vivem diversas etnias que se auto referem como “Kirdi”. Utilizam o design fractal “Mokoulek”, com pequenos silos circulares e celeiros circulares maiores em espiral dentre de três grandes recintos de pedra, que fazem outro espiral a partir de um ponto central que é a parte quadrada. Esse design não é uma somente uma questão de adicionar celeiros de forma aleatória, mas sim “a expansão de um processo quantitativo e deliberado”, no qual existe um tipo de algoritmo que determina como o sistema expande para acomodar o crescimento, convertendo a medida do volume em números de silos e estes arranjados em espirais, determinado pelo conhecimento do rendimento agrícola.

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Aldeias da etnia Kirdi, em Camarões 

Encontramos também, fractais na estrutura do povo “Ba-ila”, na Zâmbia. O motivo inicial é uma curva circular não fechada, com enormes anéis, na qual se inscreve um segmento retilíneo. Ele é cortado em “zonas ativas”, que serão substituídas por um motivo idêntico ao inicial, mas mais reduzido. A mesma operação é repetida em cada uma das zonas ativas do novo modelo. O resultado dá conta da estrutura global da aldeia. Cada extensão desses anéis, formando-se os círculos, são as casas de família (na parte de trás de cada casa é o altar doméstico). Próximo ao portão principal são os locais de armazenamento de pequeno porte, movendo-se em torno do anel, formando assim habitações progressivamente maiores, até chegar na maior que é “a casa do pai”, em frente ao portão. Na “casa do pai”, mora o chefe da tribo (tido como o pai da comunidade), descrito pela palavra “kulela”, que significa “curandeiro e aquele que acalenta”, com uma relação ecoada por todos e os laços espirituais em todas as escalas, e é estruturalmente mapeado através da arquitetura auto similar.

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Aldeia Bai-la, na Zâmbia

Assim como nas construções, os fractais são encontrados nas religiões africanas para mostrar deuses com o maior e menor poder espiritual. Os deuses que representam padrões cíclicos ordeiros (como Nummo, em Mali e Dan, em Benin) tem o menor poder, e os deuses associados com o poder da vida (como Nyame, em Gana e Mawu, em Benin) tem o maior poder.

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Forma cíclica dos deuses africanos 

Os fractais também são vistos em tecidos, esculturas, máscaras, ícones e cosmologias religiosas africanas. Em seus cobertores, há uma interessante história, pois os que são tecidos para casamentos dizem ter uma energia espiritual tecida em cada padrão e que cada iteração sucessiva mostra um aumento nesta energia. Os tecelões acreditam que, se o trabalho parar no meio, onde o padrão é mais denso, com maior energia espiritual, haverá risco de morte. Assim, o casal precisa manter os tecelões acordados até a finalização do cobertor, dando-lhes comida e nozes de kola.

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Cobertor Fractal 

Muitos dos famosos penteados trançados africanos utilizam a técnica dos fractais para criar belos e intrincados penteados, trançando iterações.

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Fractais nos penteados trançados 

Na Etiópia, os fractais podem ser vistos em cruzamentos de ruas (com uma iteração três vezes) e também nas igrejas de Lalibela.

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Fractais na arte da Etiópia 

Finalizando, os fractais podem até mesmo ser ouvidos na poli rítmica africana, com ritmos simultâneos semelhantes em diferentes escalas.

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Fractais na música poli rítmica africana

Obs.: As fontes principais deste artigo foram a Revista Scientifc American Brasil - Edição Especial - Etnomatemática e o site O Grande Jardim


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Jefferson Santos

É autor e criador do blog Matemática é Fácil! Sou graduado em Matemática, pós graduado em Administração de Finanças e Banking e pós graduado de Formação em Educação a Distância (EAD).
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